【上海市2013-2014学年高二寒假作业 数学1]

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1、高二数学寒假作业满分100分，考试时间90分钟姓名____________班级_________学号__________一、填空题（本大题满分36分，每题3分）：1.已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形、底面圆的直径为2，则该圆锥的体积为　　．2.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__3.右图是一个立方体的平面展开图形，每个面上都有一个自然数，且相对的两个面上两数之和都相等，若13、9、3的对面的数分别是a、b、c，则的值为。4．有一个几何体的三

2、视图如图所示，则该几何体的体积为______________.5.一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是________.6.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________（结果保留）.7.已知正四棱锥O-ABCD的体积为底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_______.8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于_______________-．9.已知、、、四点在半径为的球面上，且，，则三棱锥的体积是．10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．11.把正方形沿对角线折起

3、,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为______________.12.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是____________________.二、选择题(本大题满分12分，每题3分)：13.如图，矩形和矩形中，矩形可沿任意翻折，分别在上运动，当不共线，不与重合，且时，有（）A．平面B．与平面相交C．平面D．与平面可能平行，也可能相交14.一个圆锥的正视图是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.16π15.如图，在三棱锥S—ABC中，SA丄平面ABC,SA=3，AC=2，AB丄BC

4、，点P是SC的中点，则异面直线SA与PB所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)16.若直线∥平面，直线，则与的位置关系是　　　A、∥B、与异面C、与相交D、与没有公共点三、解答题(本大题满分52分)：17.(本题满分6分)在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.(1)证明:;(2)求锐二面角的余弦值;18.(本题满分9分)如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角；(2)求证19.(本题满分10分)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C

5、；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．20(本题满分13分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。21.(本题满分14分)已知长方体，设动点F从B点出发，沿运动，G为F在底面ABCD的投影，AB=BC=2，，BF=x，（1）求，（2）用x表示三棱锥G-ADF的体积，当F在什么位置时，三棱锥G-ADF的体积最大，并求出最大体积；试卷答案1.π2.3.774.165.6.7.24π8.129.810.11.4

6、5°12.13.A14.C5.D16.D17.(1)证明:取中点,连结,.∵∴且∴平面,又平面,∴.(2)设OB与CE交于点G，取OB中点为M，作MH^CE交CE于点H，连结FM,FG.平面平面且，,,,从而.,是二面角的平面角.由得,在中,,,故锐二面角的余弦值为.18.略19.略20.（Ⅰ）因为，由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），因此可取n=设平面

7、PBC的法向量为m，可取m=（0，-1，）,故二面角A-PB-C的余弦值为21.（1）在长方体中（2）由二次函数性质可知，当x=体积最大，最大体积为，略