物理奥赛：力学万有引力与天体运动

《物理奥赛：力学万有引力与天体运动》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六专题万有引力定律与天体运动解题知识与方法研究疑难题解答研究例题4（星球运动的阻力）例题1（天体轨道的判定）例题3（卫星“怪像”）例题5（飞船着陆问题）例题6（飞船和宇航站对接问题）例题2（利用万有引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化二、引力问题的基本运动方程三、行星绕日运动的轨道与能量例题7（双星问题）一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这

2、时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.行星的横向加速度等于零.有径向动力学方程解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律此式变化后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒三、天体绕日运动的轨道与能量根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、

3、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）（即开普勒第一定律）；总能量为：（2）总能量为：（3）总能量为：自行计算出上述三个能量值！（能否不用高等数学？）例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程

4、中质心未动.所以C到太阳的距离为在切向：A、B合并过程中动量也守恒，②则有研究②式中的vA、vB：因A作圆运动，疑难题解答研究①所以利用①③，C星体的机械能为因此，新星体C的轨道为椭圆.题后思考本题能不能直接判断？EA<0，EB=0，EA+EB=？EC与(EA+EB)谁大谁小？C的轨道是什么？将vA、vB代入②得③B作抛物线运动，机械能为零.因而有①例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径.解行星运动情况如图.由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得由图可知代入②式得

5、③由①③解得只要求得顶点处的速度问题便不难解决！据①②求顶点1处的曲率半径ρ1：将前面得到的v1代入，求顶点3处的曲率半径ρ3：将前面得到的v3代入，题后小结与思考椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的曲率半径.即得即得例3（卫星怪像问题）质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.解卫星的动能、势能、

6、总机械能为在运行中万有引力作为向心力将此代入EK、E的表达式，可得到卫星旋转一周摩擦力做功为所以卫星每旋转一周，r的改变量为动能的改变量为由功能关系，当卫星旋转一周时，有即现在觉得“卫星怪像”还怪不怪？例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为的非常稀薄的气体,由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子.设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略.分子间的相互作用不计.求作用在星体上的阻力.解为方便研究问题取星球为参照系.气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.在横截面为的圆柱体内的分子才能与星球相碰.研究圆截面边缘上的一个分

7、子：设被俘获前的瞬间（A点处）的速度为v.由角动量守恒得由机械能守恒得设气体受到的阻力为f（等于星球所受阻力），使气体的动量改变为由动量定理知星球在Δt时间内得到例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加速度g=1.7m