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1、199年月西`安石油学院学报UAAEEUUOE第LO卷X第l期POLS离散形式’的洛必达法则齐金全基础课部)(不定型桩限问题是高等数学中的一个重要内容,摘要求而洛必达法则是求这种极限的一种有力手段。本文把利用导数求不定型极根改为利用差分求,不定型极限并给出两个基本定理从而解决了一些通常洛必达法则不能解决的求极限问题。主题词,,离散形式[洛必达法匆门差分,。众所周知洛必达法则在求函数不定型极限的运算中起着重要的作用它用求导运算把不定型转化为确定型。但在使用过程中也受到一定的限制,一方面有的函数求导很
2、,,。复杂另外它不能直接用于数列不定型的求极限运算因为此时不能求导数能否把洛必达法则移植到离散情形下呢?答案是肯定的。只要把求导运算改为求差分运算并对定理中的条件作相应的改动即可。本文给出两个基本定理并举例说明它们的应用。::,,,定理l设f()和g()的定义域为X仁「0十co)h是某个确定的正数h>O且满足下列条件,,(xxI)只要e犬则+无任X并且1imf(x)=Iimg(劣)=0七z~+闪~十~,(2::。)对于充分大的)差分夕(x夕x夕x△)=(+人)一()(不改变符号)一m(3)叠兰丝2
3、二A(有限或带符号的无穷大):二平蕊△g(劣)△f(x)则有1IfT].丁,芍,了,~+“乙么g气xj:,,。,,:证明(l)设A为有限数由极限定义对于任意给定的正数)0存在L>O当),L时有_/△f(x)/,.-~-一七月—七受之下-丁一万尧之月,匕么g气Z夕:。,,:,,:,取M~max(L)则当>M时不仅上述不等式成立且△抓)不改变符号,:。不失一般性假定△夕()>0于是我们可以得到一列不等式。:h)一g(:xh)一f(:egxx(A一)(g(+))镇f(十)成(A+)((+h)一g())收
4、稿日期19910516一80一第卷西7安石油学院学报一。x十一夕。攫g一Z十的+f:+Zf:。夕一夕x:+Z+镇+,把它们分别相加并注意到条件一imf(:)=lim,(二)=o盆十、川;-,~+co。口(::。夕则得(月一)(一))(一f()提(A+)(一。))由于g(:)>0且lim夕(二)=0可知夕(:)<0△_/f(幼/月.故有d七之尧-丁不T之乏月七一一gL人声劣)由。的任意性就证明了ilm了(劣盆卜g叫+闭(),,,(2)设A一+co和上面一样作类似的论证可知对于任意给定的正数N>O存在
5、,,M>x0当)M时有xh)一f(x:g::f(+)>万伪(+人)一())(假定△9()>0)f(x+Zh)一f(x+h)>万(夕(:+Zh)一夕(x+h))分别相加并注意到一imf(:)=l又mg(:)=oz2叫卜~+的+阅则有一f(x)>xN(一g()):得到>N由g()<0粤g气工夕fx()这就证明了111】】,下,下一十co+,9气Z少~。A-一co的情形可作类似的推导,,,定理2设f(幻和g(x)的定义域为xC「0+co〕h是某个确定的正数h>0且满足下列条件气了Z性月、户产j`月Jlx
6、,:压、了、fZú勺口91只要任’X则(+h)任犬并且limg(x)=co;,在任意有限区间内f(x)g(幼有界;,z:。差分△g(:)不改;对于充分大的)变符号,,、口二、△f(x)*。、,,二*二。ilm气绍g今兴x一`A一、(有”限’一卜或带’”符’”号廿的”廿`无.穷/`大/、’)“蕊不蕊△()~一im叠巡丝则有石平。△g(x):证明,,,,(l)设A为有限数对于任意给定的正数。>OL>O当x)L由极限定义存在时,有_/△f(x)/,、￡之尧竺~炭--丁一T女之之勺-`月—月之么g气Zj。
7、,,:,g:,取M一max(x动则当)M时不仅上述不等式成立且△()不改变符号不,.:)>失一般性我们假定△抓0a,,a,a,取任〔MM+h)则f()g()有界得到下列不等式(乃一e)(夕(a十h)一夕(a))簇f(a+h)一f(a)簇(A+。)(夕(a+五)一g(a))一邵一:2齐金全离散形式的洛必达法则第期(A一。)(夕(a十Zh)一夕(a十h))镇f(a+Zh)一f(a+h)镇(A十e)(夕(a+Zh)一g(a十h))(A一。)(夕(a+kh)一夕(a+(k一I)h))(f(a+kh)一f(
8、a+(k一l)h)(A十e)(g(a十kh)一g(a+(k一l)h))(,分别相加则得(A一。)(夕(a+kh)一g(a))簇f(a+kh)一f(a)簇(A+。)(夕(。十无h)一夕(。)),(a+。人)一。(a))0由假设可知,,`一一f(a十kl)一f(a)/于是对任意的正整数`,月月C乏之,-二一一叮一气气气,---忿-t`尧之月寸.七—一9La七儿)-ga)一一吃f(a十kh)f(a),_,*/夕(a十k为)夕(a+kh)/翼兀月`之灸受尧勺一一一月1一一竺竺丝一g(a十k
