利用级数计算定积分_孟凡友

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1、第１５卷第３期高等数学研究Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．３２０１２年５月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＭａｙ，２０１２利用级数计算定积分孟凡友，王冰（牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江１５７０１２）摘要根据被积函数和积分区间特殊情形，给出利用数项级数和函数项幂级数展开式计算定积分的方法，并借助实例加以说明．关键词定积分；级数；计算方法中图分类号Ｏ１７３文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１２）０３－００２４－０４计算定积分的常用方法有三种：牛顿－莱布尼ε由于有界函数ｆ（ｘ）在［，１］上只有有限个间断兹公

2、式（包括广义的）、换元积分法、分部积分法．如２点，所以可积，从而于对任意的ε＞０（０＜ε＜１），存果仅局限于这些基本方法，对于一些比较复杂的积分，常常不易或不能解出．因被积函数、积分区间的在［ε，１］的分割Ｔ，使得２原因，除常用的方法之外，还有许多特殊方法，利用ε级数计算定积分便是一种特殊方法．实际上，我们可∑ωｉΔｘｉ＜２．Ｔ以综合运用数学分析中的各部分内容解决一些运用ε而在［０，］上，有局部知识不易解决的问题．这样可以开拓我们的视２野，加深理解各部分知识的内在联系，提高解题能ω′Δｘ１≤ε．２力．本文仅从利用级数来计算定

3、积分方面作以探讨．不妨令１用数项级数计算定积分Ｔ＊＝｛［０，ε］｝＋Ｔ２［１］例１证明函数成为［０，１］的一个分割，则有烄０，ｘ＝０，∑ωｉΔｘｉ＝ω′Δｘ１＋∑ωｉΔｘｉ＜ε．＊Ｔｆ（ｘ）＝１１Ｔ烅－［］，０＜ｘ≤１．由可积准则充分性知，函数ｆ（ｘ）在［０，１］上可积．烆ｘｘ１再计算积分值．在［０，１］上可积，并计算ｆ（ｘ）ｄｘ．∫０因为ｆ（ｘ）在［０，１］上可积，所以变限函数１解先证可积性．Ｆ（ｔ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ∫ｔ方法１易知函数的不连续点为在［０，１］上连续，从而有１１１０，，，，…１１２３４ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍＦ（ｔ

4、）＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ＝∫０ｔ→０＋ｔ→０∫＋ｔ它们构成一个可数集，由实变函数的知识可知其测ｎ１ｋ１１度为零，从而有界函数ｆ（ｘ）在［０，１］上可积．ｌｉｍ－ｄｘ＝ｎ→∞∑∫１（ｘ［ｘ］）ｋ＝１ｋ＋１方法２易知对任意ε＞０（０＜ε＜１），存在Ｎ，∞１ｎ１１当ｎ＞Ｎ时，有∑∫１（ｘ－［ｘ］）ｄｘ＝ｎ＝１ｎ＋１１ε∞１＜，ｎ１ｎ２－ｎｄｘ＝∑∫１（ｘ）ｎ＝１ｎ＋１∞收稿日期：２０１－０６－０７；修改日期：２０１２－０３－０３ｎ＋１１∑（ｌｎｎ－ｎ＋１）＝基金项目：黑龙江省普通高等学校精品课程（黑教高［２００６］２４４号）；ｎ＝１

5、２０１１年黑龙江省高等教育教学改革工程立项项目Ｎ－１ｎ＋１１作者简介：孟凡友（１９６３－），男，河南永城人，教授，主要从事格上拓ｌｉｍＮ→∞∑（ｌｎｎ－ｎ＋１）＝ｎ＝１扑学的研究．Ｅｍａｉｌ：ｍｅｎｇｆｙ１９６３＠１２６．ｃｏｍｌｉｍ［１－（ＨＮ－ｌｎＮ）］＝１－Ｃ，王冰（１９７８－），男，黑龙江双城人，副教授，从事模糊优化Ｎ→∞和智能计算的研究．Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇｂｉｎｇ６６６６６６７８＠１２６．ｃｏｍ其中ＨＮ是调和级数前Ｎ项的和，Ｃ为欧拉常数．第１５卷第３期孟凡友，王冰：利用级数计算定积分２５例２证明函数ｍ１ｍｎ１１ｌ

6、ｉｍ２ｎｘｄｘ＝ｌｉｍｎ２－２＝０，ｘ＝０，ｍ→∞∑∫１ｍ→∞∑（ｎ（ｎ＋１））ｎ＝１ｎ＋１ｎ＝１烄ｍｆ（ｘ）＝烅１，１１，ｎ＝１，２，…１ｎ－１ｎｎｎ＋１＜ｘ≤ｎｌｉｍ∑（２＋２－（ｎ＋１）２）＝烆ｍ→∞ｎ＝１ｎｎ１ｍ∞２在［０，１］上可积，并计算ｆ（ｘ）ｄｘ．ｌｉｍ１ｍ１π．∫０ｍ→∞（∑ｎ２－（ｍ＋１）２）＝∑ｎ２＝６ｎ＝１ｎ＝１解函数的不连续点为［４］例４（１９７６年美国Ｐｕｔｎａｍ数学竞赛题）计１１１，，，…算极限２３４ｎ１２ｎｎ可积性证明同例１，从略．ｌｉｍ∑（［］－２［］）．ｎ→∞ｎｋ＝１ｋｋ因为ｆ（ｘ）在［０

7、，１］上可积，所以变限函数解此题本质上就是证明函数１Ｆ（ｔ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ０，ｘ＝０，∫ｔ烄ｆ（ｘ）＝２１在［０，１］上连续，从而有烅［］－２［］，ｘ∈（０，１］烆ｘｘ１１１ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ＝［３］∫０ｔ→０∫＋ｔ在［０，１］上可积，并计算ｆ（ｘ）ｄｘ．所求极限恰好∫０ｎ∞ｎ→∞ｌｉｍ１＝１．是函数ｆ（ｘ）在［０，１］上（作等分分割且ξ１取区间右∑ｋ２（ｋ＋１）∑ｎ２（ｎ＋１）ｋ＝１ｎ＝１端点时）一黎曼和的极限，也就是此定积分．［２］又因为先证可积性．以｛ｔ｝表示ｔ的小数部分，由于∞２１＝π，当ｘ≠０时，有∑

8、ｎ２６ｎ＝１２１于是ｆ（ｘ）＝［ｘ］－２［ｘ］＝∞１２１１２１ｆ（ｘ）ｄｘ＝∑２（ｎ＋１）＝ｘ－｛｝ｘ－２（ｘ－｛｝ｘ）＝∫０ｎ＝１ｎ∞∞２２１１１π－＋２，∑ｎ２－∑ｎ（ｎ＋１）＝６－１．｛｝ｘ｛｝ｘｎ＝１ｎ＝１［３］可知函数ｆ（ｘ）在［０，１］上有界．又函数ｆ（ｘ）有不例３设函数连续点