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1、2011年4月纯粹数学与应用数学Apr.2011第27卷第2期PureandAppliedMathematicsVol.27No.2用单层位势求解尖角区域上的Dirichlet外问题牛磊(西北大学数学系,陕西西安710127)摘要：采用Kress变换以及处理第一类奇异核的积分方法,运用Nystrom方法利用单层位势求解尖角区域上的Dirichlet外问题.给出具体的算法和数值例子,通过数值例子可以看出用单层位势求解尖角区域上的Dirichlet外问题与用单双层结合求解所得的结果基本上一致,说明这种方法是有效的和可行的.关键词：Kress变换;单层位
2、势;尖角区域中图分类号：O241.8文献标识码：A文章编号：1008-5513(2011)02-0256-051引引引言言言声波散射问题是一类重要的数学物理问题.由于方程的解析解不容易求出,所以求解此类问题的数值解是很有意义的.当前,处理满足时间调和的二维Helmhotz方程的闭区域的正问题主要是采用Nystrom方法,这种方法是有效的,更重要的是其收敛性比较快.一般结点数取到64,其数值解就比较准确了.本文主要讨论运用Nystrom方法处理时间调和的二维Helmhotz方程尖角区域上的Dirichlet外问题.文献[1]给出用单双层位势求解尖角区
3、域上的Dirichlet外问题的方法;文献[2]给出用单层位势处理第一类带奇异核积分方程的方法.由于用单双层结合法求解问题有些繁琐,而文献[2]给出了用单层位势处理Dirichlet外问题的方法,由文献[2]我们想到用单层位势表示散射波,求解尖角区域上的Dirichlet外问题.2尖尖尖角角角区区区域域域上上上的的的Dirichlet外外外问问问题题题的的的数数数学学学模模模型型型定定定义义义2.1Helmhotz方程¢u+k2u=0的一个解us,它的定义域包含一个球的外部,us叫做Helmhotz方程的辐射解,若它满足Sommerfeld辐射条件
4、:p³@u´limr¡iku=0;r=jxj:(1)x!1@r在所有方向x^=x上一致.jxj对于给定的在边界上连续函数f,求辐射解u2C2(R2nD)C(R2nD)收稿日期：2010-12-25.基金项目：国家自然科学基金(10671155).作者简介：牛磊(1985-),硕士生,研究方向:数学物理方程反问题.第2期牛磊:用单层位势求解尖角区域上的Dirichlet外问题257满足Helmhotz方程和边界条件:u=f(2)称为Dirichlet外问题.3尖尖尖角角角区区区域域域上上上的的的Dirichlet外外外问问问题题题求求求解解解方方方
5、法法法我们寻求如下单层位势形式的解Zu(x)=©(x;y)Ã(y)ds(y);x2R2n¿;(3)¿这里i(1)©(x;y):=H0(kjx¡yj):(4)4(1)注注注H0表示零阶第一类Hankel函数.运用边界条件(2),以及单层位势的跳跃关系:Z©(x;y)Ã(y)ds(y)=f(x)=¡ui;x2¿;(5)¿x(t)=(x1(t);x2(t));0·t·2¼;ui表示入射波.(5)式参数化可得到Z2¼1K(t;¿)'(¿)d¿=g(t);0·t·2¼;(6)2¼0这里¼(1)K(t;¿)=H0(kr(t;¿));t6=¿;'(t):=Ã(x
6、(t));g(t):=¡2f(x(t));r(t;¿)=jx(t)¡x(¿)j:i为了处理尖角处的奇性我们引入Kress变换:[w(s)]pw(s)=2¼;0·s·2¼:(7)[w(s)]p+[w(2¼¡s)]p³11´³¼¡s´31s¡¼1v(s)=¡++;p2¼p¼2令t=w(s);¿=w(¾);则(5)式变为:Z2¼1K(w(s);w(¾))Á(w(¾))d¾=g(w(s));0·s·2¼:(8)2¼00且记Á(¾)='(w(¾))w(¾);由于核K具有奇异性,因此要对核进行对数奇性分离:X1(¡1)n³z´2nJ0(z)=;(9)(n!)2
7、2n=0258纯粹数学与应用数学第27卷2³³z´´2X1(¡1)n³z´2nY0(z)=ln+CJ0(z)+Ã(n)2;(10)¼2¼(n!)2n=1Xn1Ã(0)=0;Ã(n)=;n=1;2;¢¢¢;H0(z)=J0(z)+iY0(z):mm=1从表达式(8)不难看出,只有下面这一项有对数奇性:no2kr(w(s);w(¾)))¼J0(kr(w(s);w(¾)))ln¼2³´kr(w(s);w(¾)))42s¡¾=2J0(kr(w(s);w(¾)))ln¡J0(kr(w(s);w(¾)))lnsin+2e2³´42s¡¾J0(kr(w(s);w
8、(¾)))lnsin:e2现在就只剩下³´42s¡¾J0(kr(w(s);w(¾)))lnsin;e2记³´42s¡¾K(
