重积分概率分布

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1、重积分在概率分布函数计算中的应用摘要：连续型随机变量的分布函数的求解应用重积分的条件，并应用重积分计算分布函数。关键词：随机变量；连续型随机变量的函数分布；二重积分；n重积分；连续型随机变量的概率密度本文主要讨论二维连续型随机变量的函数分布与数学分析中重积分的关联性。一．基本概念：1.1二维连续型随机变量：（1）设F（x,y）是二维随机变量的分布函数，（X,Y）是二维连续型随机变量，则存在非负函数f(x,y),对任意x,y有F（x,y）=,这时称f（x,y）为二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的

2、联合概率密度。（2）（X,Y）的概率密度的性质：①非负性：f(x,y)≥0;规范性：=1.②若（X,Y）的分布函数F（x,y）在点（x,y）处具有连续二阶偏导数，则=f(x,y).说明f(x,y)在(x,y)连续，F(x,y)的二阶偏导数存在且连续时，可由分布函数求出概率密度。③连续型随机变量（X,Y）在平面区域G内取值的概率为P{（x,y）∈G}=,G为xOy面上的区域。G可以是闭的.开的或半开半闭的区域。由此知二维连续型随机变量（X,Y）在平面上任何区域内取值的概率转化为该区域上的概率密度的二重积分。几何上P{（x,

3、y）∈G}的值等于以G为底，f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（二维均匀分布）设D是平面的一个有界区域，面积为m，定义二元函数f(x,y)=则f(x,y)非负且满足=1，故如上定义的f(x,y)是一个二维密度函数，这个分布称作D上的均匀分布。其分布函数F(x,y)=.在区域D上任取一点，这就是指该点的坐标(X,Y)是一个二维随机变量，它有D上的均匀分布。特别的，当D是平面上的矩形R[≤x≤,≤x≤]时，有m=(b1-a1)(b2-a2).F(x,y)=或F(x,y)====S==1=1.（二维正态分布）设二维随机向量（X

4、,Y）的联合密度函数是f(x,y)=其中均为常数，则称(X,Y)服从二维正态分布N().由于f(x,y)是连续函数，则二维随机向量(X,Y)的分布函数是F(x,y)====1.2n维随机变量：设是同一概率空间（）中的随机变量，就称X=()为一个n维随机变量。随机向量()可以看成n维空间中的随机点，对应于样本点，随机向量是中的一个点。随着试验结果的不同，在中随机的变化，要研究随机向量落在中各个区域的概率，即随机向量的分布。定义：设X=()是n维随机向量，对任意,=称为n维随机向量X的联合分布函数。二．分布函数的计算：2.1

5、设f是区域D上的可积函数，又设D可以表示为D={（x,y）

6、(x)≤y≤(x),a≤x≤b},其中和都是[a,b]上的连续函数，那么f在D上的二重积分可以化为下面的先对y后对x的二重积分=。证明：设A=[a,b]×[c,d]是一个含有区域D的闭矩形，又设F(x,y)=则==，对每一个固定的x∈[a,b],有=++=。所以=。即左端的二重积分化为先对y后对x的二次积分。同样，如果区域D表示为D={（x,y）

7、(y)≤x≤(y),c≤y≤d}，其中和都是[c,d]上的连续函数,那么=，即左端的二重积分可化为先对x后对y的二重

8、积分。由于二维连续型随机变量的分布函数的积分区域连续，故可化为二次积分来计算。2.2设D是的子区域，是D上的非负函数或绝对可积函数，则对区域D上的n重积分(为了方便积分号表示多重积分号)可以进行累次积分计算，且积分次序可以交换。三．应用举例：3.1）设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)=⑴求分布函数；⑵求概率P{Y≤X}.解：⑴F(x,y)==即有F(x,y)=⑵将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即有{Y≤X}={(X,Y)∈G},其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分，于是P{Y≤X}=P{(X,

9、Y)∈G}===1/3.3.2）求半径为，高为的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量（）。解建立坐标系如图，过中心且平行于母线的轴即为轴。3.3）重积分在生活中的应用(飓风的能量有多大)在一个简化的飓风模型中，假定速度只取单纯的圆周方向，其大小为　其中是柱坐标的两个坐标变量，　为常量。以海平面飓风中心处作为坐标原点，如果大气密度　，求运动的全部动能。　解求动能：因为，，。因为飓风活动空间很大，在选用柱坐标计算中由，所以　，其中　用部分积分法算得为，，最后有。n维连续型随机变量的分布函数在积分区域满足n重积分可化

10、为n次积分的条件即区域连续时，可由在其连续的区域内对n维的密度函数n重积分，再化为n次积分计算出结果。参考文献：[1]邓永录·应用概率及其理论基础清华大学出版社[2]李英英·概率统计思想方法与解题研究天津大学出版社[3]欧阳光中·数学分析复旦大学出版社[4]盛骤谢式千潘承毅·概率论与数理统计高等教育出版社