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时间:2019-05-25
《最小二乘法回归曲线》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、在现实中经常遇到这样的问题,一个函数并不是以某个数学表达式的形式给出,而是以一些自变量与因变量的对应表给出,老师讲课的时候举的个例子是犯罪人的身高和留下的脚印长,可以测出一些人的数据然后得到一张表,它反应的是一个函数,回归的意思就是将它还原成数学表达式,这个式子也称为经验表达式,之所以叫经验就是说它不完全是实际中的那样准确,是有一定偏差的,只是偏差很小罢了。最小二乘法设经验方程是y=F(x),方程中含有一些待定系数an,给出真实值{(xi,yi)
2、i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作差,可以描述误差:y
3、i-F(xi),为了考虑整体的误差,可以取平方和,之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消,所以记误差为:e=∑(yi-F(xi))^2它是一个多元函数,有an共n个未知量,现在要求的是最小值。所以必然满足对各变量的偏导等于0,于是得到n个方程:de/da1=0de/da2=0...de/dan=0n个方程确定n个未知量为常量是理论上可以解出来的。用这种误差分析的方法进行回归方程的方法就是最小二乘法。线性回归如果经验方程是线性的,形如y=ax+b,就是线性回归。按上面的分析,误差函数为:e=∑(yi-axi
4、-b)^2各偏导为:de/da=2∑(yi-axi-b)xi=0de/db=-2∑(yi-axi-b)=0于是得到关于a,b的线性方程组:(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑yixi(∑xi)a+nb=∑yi设A=∑xi^2,B=∑xi,C=∑yixi,D=∑yi,则方程化为:Aa+Bb=CBa+nb=D解出a,b得:a=(Cn-BD)/(An-BB)b=(AD-CB)/(An-BB)C++程序:#include#includevoidmain(){ doublex,y,A=0.0,B=0.0,C=0.0,D=0.0
5、,delta; intn; cin>>n; for(inti=0;i>x>>y; A+=x*x; B+=x; C+=x*y; D+=y; } delta=A*n-B*B; if(fabs(delta)<1e-10) { cerr<<"Error!Dividebyzero"<6、 <<"b="<<((A*D-C*D)/delta)<7、得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm,ym);将这些数据描绘在x-y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计=a0+a1X(式1-1) 其中:a0、a1是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi-Y计)2〕最小为“优化判据”。 令:φ=∑(Yi-Y计)2(式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ=∑(Y8、i-a0-a1Xi)2(式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数φ对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即: ma0+(∑Xi)a1=∑Yi(式1-6) (∑Xi)a0+(∑Xi2)a1=∑(Xi,Yi)(式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出: a0=(∑Yi)/m-a1(∑Xi)/m(式1-8) a1=[∑XiYi-(∑Xi∑Yi)/m]/[∑Xi2-(∑Xi)2/m)](式1-9) 这时把a0、a1代入(式19、-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。 在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于1越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于0越好。 R=
6、 <<"b="<<((A*D-C*D)/delta)<7、得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm,ym);将这些数据描绘在x-y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计=a0+a1X(式1-1) 其中:a0、a1是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi-Y计)2〕最小为“优化判据”。 令:φ=∑(Yi-Y计)2(式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ=∑(Y8、i-a0-a1Xi)2(式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数φ对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即: ma0+(∑Xi)a1=∑Yi(式1-6) (∑Xi)a0+(∑Xi2)a1=∑(Xi,Yi)(式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出: a0=(∑Yi)/m-a1(∑Xi)/m(式1-8) a1=[∑XiYi-(∑Xi∑Yi)/m]/[∑Xi2-(∑Xi)2/m)](式1-9) 这时把a0、a1代入(式19、-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。 在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于1越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于0越好。 R=
7、得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm,ym);将这些数据描绘在x-y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计=a0+a1X(式1-1) 其中:a0、a1是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi-Y计)2〕最小为“优化判据”。 令:φ=∑(Yi-Y计)2(式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ=∑(Y
8、i-a0-a1Xi)2(式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数φ对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即: ma0+(∑Xi)a1=∑Yi(式1-6) (∑Xi)a0+(∑Xi2)a1=∑(Xi,Yi)(式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出: a0=(∑Yi)/m-a1(∑Xi)/m(式1-8) a1=[∑XiYi-(∑Xi∑Yi)/m]/[∑Xi2-(∑Xi)2/m)](式1-9) 这时把a0、a1代入(式1
9、-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。 在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于1越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于0越好。 R=
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