2003全国高中数学联赛试卷

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1、2003年全国高中数学联赛试题2003．10．12一、选择题1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.　这个数列的第2003项是（A）2046(B)2047(C)2048(D)20492．设那么直线和曲线的图形是(A)(B)(C)(D)3．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线.若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于（A）(B)(C)(D)4．若则的最大值是（A）(B)(C)(D)5．已知在区间内，且则函数的最小值是（A）(B)(C)(D)6．在四面体ABCD中设，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四

2、面体ABCD的体积等于（A）(B)(C)(D)一、填空题7．不等式的解集是______________8．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_____________.9.已知若，则实数的取值范围是_____________.10.已知均为正整数，且若，则____________.11.将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设是中元素的个数，是中所有元素的和，则________.二、解答题13．设证明不等式14．设A,B,C分别是复数（

3、其中都是实数）对应的不共线的三点.证明：曲线与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15.一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片，使圆周上某一点刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题2003．10．12一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A,B.所作割线交圆于C,D两点，C在P,D之间.在弦CD上取一点Q,使求证：二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数.求这

4、种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间四边形，其中已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）