三状态开关式波动率的美式看跌期权

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1、第27卷第1期工程数学学报Vol.27No.12010年02月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb.2010文章编号:1005-3085(2010)01-0021-09三状态开关式波动率的美式看跌期权魏云霞,易法槐(华南师范大学数学科学学院，广州510631)摘要:本文研究三状态开关式波动率美式看跌期权的定价问题，假设波动率¾(t)取三个不同的值¾1;¾2;¾3，分别对应于股市中的熊市、振荡市和牛市，利用¢对冲技巧得到了有三条自由边界(即最佳实施边界)的变

2、分不等式模型；作为其应用，本文得到以下结果：若当前股票市场处于熊市(牛市)，则在一定条件下，三状态开关式波动率美式看跌期权的最佳实施边界比标准美式看跌期权的最佳实施边界大(小)，且三状态开关式波动率美式看跌期权的价格比标准美式看跌期权的价格低(高)；若当前股票市场处于振荡市，则在一定条件下，三状态开关式波动率美式看跌期权的最佳实施边界比标准美式看跌期权的最佳实施边界小(大)，且三状态开关式波动率美式看跌期权的价格比标准美式看跌期权的价格高(低)。关键词:开关式波动率；变分不等式；自由边界分类号:AMS

3、(2000)35K85中图分类号:O175.26文献标识码:A1引引引言言言近年来，很多学者对开关式波动率期权的相关问题做了大量的工作。Yao等[1]用数值方法计算了有限状态开关式波动率欧式期权的价格。Guo[2;3]导出了二状态开关式波动率欧式期权与二状态开关式波动率永久美式回望期权的稳态解。Guo和Zhang[4]导出了二状态开关式波动率永久美式看跌期权的稳态解，并利用Dynkin公式证明了解的最佳性。Jang和Koo[5]得出了以下结论：二状态开关式波动率美式看跌期权的价格等于二状态开关式波动率

4、欧式看跌期权的价格与合约增加提前实施条款而需要增付的期权金之和，并且证明了此价格是自由边界问题的唯一解；对于二状态开关式波动率永久美式看跌期权而言，它的价格在熊市高于牛市，而最佳实施边界在熊市小于牛市。Bu±nton和Elliott[6]给出了有限状态开关式波动率欧式看涨期权价格所满足的偏微分方程(即耦合的Black-Scholes方程)与不光滑的边界条件(即(S¡K)+)，并得到了二状态开关式波动率美式看跌期权所满足问题的逼近解。Yao等[7]建立了有限状态开关式波动率欧式期权价格所满足的偏微分方程

5、模型，并给出了光滑的边界条件，在此基础上证明了此问题存在唯一的古典解以及解的收敛性。在现实的金融市场中，熊市股票波动率通常比牛市大，Yi[8]研究了股票波动率取两个不同值¾1(熊市)，¾2(牛市)的情形。实际上，股票市场往往既不处于熊市也不处于牛市，而大约70%左右的时间处于振荡市，本文在上述工作的基础上，讨论了股票波动率取三个不同值¾1(熊市)，¾2(振荡市)，¾3(牛市)的更为一般的情形。收稿日期:2008-05-26.作者简介:魏云霞(1980年7月生)，女，硕士.研究方向：非线性偏微分方程及其

6、在金融数学中的应用.万方数据22工程数学学报第27卷2模模模型型型的的的建建建立立立假设股票价格St遵循几何Brown运动dSt=¹Stdt+¾(®t)StdWt;其中¹是期望回报率，Wt是标准布朗运动，¾是波动率，®t=f1;0;¡1g，当股票市场处于熊市时®t=1，处于牛市时®t=¡1，处于振荡市时®t=0，而且8>>¾1;®t=1<¾(®t)=¾2;®t=0>>:¾3;®t=¡1记V1(St;t)=V(St;t;¾1);V2(St;t)=V(St;t;¾2);V3(St;t)=V(St;t;¾3

7、);分别为股票市场处于熊市、振荡市、牛市时美式看跌期权的价格，建立无风险投资组合¼1t=V1(St;t)¡¢1tSt;(1)由于¼1t是无风险的，故£¤E(d¼1t)=r¼1tdt=rV1(St;t)¡¢1tStdt;(2)其中E为数学期望，r为无风险利率，若股票市场在时刻t处于熊市，假设股票市场在未来短时间内进入牛市的概率为¸13dt，进入振荡市的概率为¸12dt，仍然保持在熊市的概率为1¡¸12dt¡¸13dt，其中¸12;¸13为正常数，则有E(d¼1t)=(1¡¸12dt¡¸13dt)(dV1

8、¡¢1tdSt)£¤£¤+¸12dt(V2¡V1)¡¢1tdSt+¸13dt(V3¡V1)¡¢1tdSth³´i122=(1¡¸12dt¡¸13dt)@tV1+¾1S@SSV1dt+(@SV1¡¢1t)dSt2£¤£¤+¸12dt(V2¡V1)¡¢1tdSt+¸13dt(V3¡V1)¡¢1tdSt:令¢1t=@SV1，忽略dt的高阶无穷小量，可得³´122E(d¼1t)=@tV1+¾1S@SSV1dt+¸12dt(V2¡V1)+¸13dt(V3¡V1):