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1、计,冲第卷第期最学报,年月采样测量数据的插值及其误差分析陆祖良中国计量科学研究院,。摘要本文对擂值的误差进行了分析提出了减小偶然误差的插值方法并以此、详细讨论了过渡过程初值及其积分的计算非整周期采样测量中积分精度的提高。以及峰值的确定等问题己,雀护扩「,,,在采样测量中采样数据是对应于信号的某个确定的时刻的值不管采样频率多高采。,,样值永远是断续的有时必须知道非采样点上的值如在功率采样测量中若使用同一个模,,数转换器的两个通道对电压和电流进行采样其电压和电流的采样数据是非同步的而计算。,,瞬时功率时要求的是同一时刻的电压和电流的值又如在过渡过程的测量中时刻,。的值是可以测量到
2、的但初值二。却常常不易直接采样得到可有时测量的目的就是,,为了确定这个初值例如〔〕中测定帕尔蒂电势是利用过程中极点的性质来推知初值的对,,,。,于一般测量这个方法是可以的但在精密测量中这个方法就显得不够了有时也需要寻找一般的能保证一定精度的外推方法。,,在求取线性系统的频率特性时人们需要计算过渡过程的傅里叶变换这时过渡过程的。,测量值被作为被积函数在整个时间间隔内积分一般人们假定过渡过程的初值为零〔〕这,,。对于大多数惯性系统来说是企确的但对微分电路来说过渡过程的初值并不为零这时即,,使时的诸测量值是正确的如果初值不知道或者知道得木准确那么频率特性的准确。,性将会受到影响当然
3、可以用提高采样频率来克服这一困难但采样频率的提高会引起测量。,精度的下降等别的问题因此有必要讨论在不提高采样频率的前提下提高线性系统频率特。性的精度问题,,只在整周期采样测量中象平均值例如功率这些积分量要采样频率满足一定的条,。,件它们可以通过梯形公式十分准确地计算得到但对于非整周期采样则不可避免地要引,,。起误差如何提高这些积分量的精度已引起重视并找到了一种解决办法〔〕本文试图从。插值和其积分这一角度来参加讨论,。除此之外本文还将着重讨论如何使插值结果中的误差不超过采样数据的误差。本文于年月日收到,。、。指个采样均分个信号周期无公因子一一、二插值误差‘,首先讨论一般的播值课
4、差设犯二是被测量其中,‘是时间投时瓤的侧量值,二,,,,,。已经获得⋯要求求出时刻的值来根据插值的一般形,式假定,,,“·,这里二补‘。,,,⋯,。,。。,是由及所决定的与无关可称之为权向垦它具有权的某些特点例如,这是因为当三时一一万。,,,,。分析的误差设测量值二⋯中的系统误差为凡偶然误差为,,、。在各个测量值中偶然误差只是一个统计的概念可以参积值误差均方根误差等等。和一般由测量系统决定,,。卜是由诸计算得来的因此中所具有的饥及久不可避免地要带到中来、,。,设△△分别为中系统误差和偶然误差此外计算所采用的公式的近似性带来的误,,口差可称为计算误差记为△这是测量值中所没有的「
5、。,一,。关于计算误差△若插值公式为次多项式则有戈二这里是测量间,,。,二隔的一个表征在采样测量中则为采样周期在这种情况下至少需要个测量值。参加插值。,,关于系统误差先分析测量值中系统误差饥其中有固定不变的部分也有随时间。、,。,而漂移的部分前者的大小方向对于每个测量值都是一样的由子一这部艺。,,,分在中保持不变至于后者既然随时间而漂移就可用表示因此也可用一,“,次多项式来插值由于权向量并不由特定的乡的形式决定因此它也可以用来,,表示的插值这就是说计算获得的中所存在的随时间而漂移的系统误差和实际,。,情况下的值相吻合两者之间的差别正比于总之擂值并没有扩大插值点上所固有的、’。
6、系统误差,,△关于偶然误差由于不能用函数解析式表示每个采样值中偶然误差对的影响,,是相互独立的因此△一人了玄·。这表明‘值将“”误差扩大”倍了客,△。,△一般的数值计算方法对计算误差有较为详细的论述对偶然误差却比较笼一一。,。统但在实际测量过程中这两者都是十分重要的用“·。“一了玄,,。来衡量擂值方法的稳定性若此比值小于则该擂值方法是比较德定的、三数学准备。,,,,、,我们要求擂值中的计算误差正比于设⋯时刻的测量值,,,。,,,⋯已经知道并这里只对等间隔测量的情况进行讨论即,。。⋯”至于不等间隔的侧量与下面的讨论相似,,,⋯,,,⋯,二作替换那么问题变为在处的采样值为已,知求
7、处的一,,,用最小二乘法在座标系中作一根与诸最接近的曲线是人们熟知的方法此△,。时可使偶然误差最小,,设采样数据有个插值公式为、,。从最小二乘法可得一︸﹃二·︺·。厂州、‘卜一一一一,。、艺万万‘“‘“‘’‘、一菩乞护护‘””’⋯店⋯⋯⋯⋯·,·了、自,了、二一·一,‘、于是、、、·盆了卜、、,、、了、一其中··上“︺﹃又、︸产一乙艺﹃五一艺万︺几二‘,⋯⋯上月一皿劝了‘万艺玉二这样一产曰,︸、户、、·’·一‘,片户爪一一二,一一所以,二、。这就是插值公式至于积分公式‘’·’八一一一‘‘‘·丁丁王丁,令
