2011全国数学联赛

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1、乌鲁木齐市第23中学何召文hzw0810120981@mail.bnu.edu.cn2011年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．2．函数的值域为．3．设为正实数，，，则．4．如果，，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为．7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标

2、为．8．已知C，则数列中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数，实数满足，，求的值．乌鲁木齐市第23中学何召文hzw0810120981@mail.bnu.edu.cn10．（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．yxOPAB11．（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．乌鲁木齐市第23中学何召文hzw0810120981@mail.bnu.edu.

3、cn2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）如图，P，Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点.若证明：二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有．乌鲁木齐市第23中学何召文hzw0810120981@mail.bnu.edu.cn三、（本题满分50分）设是给定的正实数，．对任意正实数，满足的三元数组的个数记为．证明：．四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中

4、的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．