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1、数值计算方法与算法第0章绪论数学建模数值计算实际问题 数学问题 近似解什么是数值计算方法？什么是“好的”数值计算方法？误差小─误差分析耗时少─复杂度分析抗干扰─稳定性分析误差的类型绝对误差＝真实值－近似值相对误差＝绝对误差／真实值误差的来源原始误差、截断误差、舍入误差输入计算输出真实值近似值一些例子：计算地球的体积计算计算如何减小计算误差？选择好的算法、提高计算精度范数的定义满足非负性,齐次性,三角不等式的实函数常用的向量范数常用的矩阵范数矩阵的谱半径例：计算矩阵的范数和谱半径。例：范数在误差估计中的应用第1章插值函数逼近用未知函数f(x)的值
2、构造近似函数φ(x)。要求误差小、形式简单、容易计算。常用的函数逼近方法插值：φ(xi)=yi,i=0,1,…,n.拟合：
3、
4、φ(x)-f(x)
5、
6、尽可能小通常取φ(x)=a0φ0(x)+…+anφn(x)，其中{φi(x)}为一组基函数。多项式插值给定平面上n+1个插值点(xi,yi),构造n次多项式φ(x),满足φ(xi)=yi,i=0,1,…,n.单项式插值Lagrange插值Newton插值差商表012…n…0…1…2……......nk阶差商差商的性质以x0,…,xn为节点的n次插值多项式φ(x)的首项系数等于f[x0,…,xn]。证明：分别以x
7、0,…,xn-1和x1,…,xn为节点构造n-1次插值多项式φ1(x)和φ2(x)，则有 对n用归纳法。f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。误差估计：证明：设，则有n+2个零点。根据中值定理，存在于是。Hermite插值给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi),构造2n+1次多项式φ(x),满足φ(xi)=yi,φ’(xi)=mi,i=0,1,…,n.单项式 基函数Lagrange基函数误差估计：证明：设，则有2n+3个零点。根据中值定理，存在于是。Runge现象：并非插值点取得越多越好。解决办法：分段插值三次样条插值给定平面上n+1个插
8、值点(xi,yi),构造分段三次多项式φ(x),满足φ(xi)=yi,φ’(x)可微，φ”(x)连续。第2章数值微分和数值积分数值微分差商法向前差商向后差商中心差商插值法 在x附近取点(xi,f(xi))构造插值多项式φ。样条法 在x附近取点(xi,f(xi))构造样条函数φ。f’(x)≈φ’(x)例：用中心差商公式计算f’(xi)。例：用向后差商公式计算f’’(0.2),f’’(0.4)。x0.00.10.20.30.4f(x)1.71.51.62.01.9f’(x)f”(x)x0.00.10.20.30.4f(x)0.8187310.9048371.0
9、000001.1051711.221403f’(x)例：设xi=x0+i*h,i=1,...,n。计算φ’(xk)。解：误差估计前后差商 中心差商 插值微分数值积分插值法若积分公式对任意m次多项式都取等号，则称积分公式具有至少m阶的代数精度。插值型积分公式的代数精度≥n。当积分节点x0,...,xn给定时， 代数精度≥n的积分公式唯一。例：设xi=a+i*h,i=0,...,n,h=(b-a)/n。计算Newton-Cotes积分解：特别，当n=1,2时，积分公式分别称为梯形公式Simpson公式na1a2a3a4a51½½21/64/61/631/83/
10、83/81/847/9032/9012/9032/907/90误差估计特别，梯形公式和Simpson公式的误差为代数精度＝1代数精度＝3复化数值积分梯形公式Simpson公式Richardson外推法我们要计算假设则有比 和 更高的精度。误差估计Romberg积分公式等分的梯形公式，瑕积分重积分Gauss-Legendre积分定理：假设满足则插值积分公式具有2n+1阶的代数精度。证明：课本21页性质1.3：若f(x)为m次多项式，则f[x0,...,xn,x]为m-n-1次多项式。求多项式空间在内积 下的标准正交基。解法1：对任意基作Gram-Schm
11、idt正交化。解法2：对任意度量方阵作相合对角化。解法3：求解正交关系的线性方程组。解法4：Legendre多项式第3章曲线拟合的最小二乘法曲线拟合对区间I上的连续函数f，构造特定类型的函数φ使φ≈f。对离散数据序列(xi,yi),i=1,2,…,m，构造特定类型的函数φ使φ(xi)≈yi。最小二乘法求φ使最小。求φ使最小。多项式拟合其中是标准正交基，。求使最小。奇异值分解Moore-Penrose广义逆矛盾方程组的解其他类型的离散数据拟合第4章非线性方程求根问题求f(x)=0在区间[a,b]内的实根求f(x)=0在x0附近的一个实根求f(x)=0在x0附
12、近的一个复根求多项式f(x)=0的所有复根求非线性方程组的根方法用
