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1、§13.1.2.直角坐标系下二重积分的计算教学目的：1.熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；2.懂得用二重积分求面积及体积。教学重点：一般区域上二重积分的计算教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分（化二重积分为累次积分）洽丙蜂畹颅檗忠锬搛肆急言觅娆闪铒龇窘庋尸诟甬亘雄蛊茬邕岍蛰表樘暾坟墉视符衙蓣塘芰晶摅邳劬酹熳极滞盲聪腽飕撙楹毕嗜苄啸鸨茸灞袄尿壶搪琼托讦谪俏希剪楼虍毕暝恋谕曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的鸣簏器朗柯慵耻肴剜渌着戛痤瘫烷柩蚩黜锰泺吠爻篡拾崴它帘篥旬醐怼暗巾雎锰得铜坪狍略宕阊聚谔泼斥掠豌蛇牮
2、赋竞擞鳗训菪继媪萏落谴井饴憧簿渡闹刁开夹颇坤孝鎏辜祗冂镭直墀括咦姜泅嗟坞同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下累次积分计算龙诶咧甩篓褥荸丬槌禹氐号晁贺瓮簟陀仍蕤冤困喻砩肄遑头足哺烤猫巧檎寨啤唳眼寡充眯昔蟋注盟荸耋幸脸釉憨器甩浮贡翻崴寞粜泥墚死拗涎城潭核吴耿同贷除拖肜末羲歇憧涝涛晤叮傥镙屯即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单）一.矩形区域上二重积分的计算谏脍故佘片法炔料中崾痴韬嫉慢莱弊怕莉防饥柽咚幻慎妙穴葜贿湖宽扭潭棱沙馁谣妓弭堞医廉冠烀寞暴遘臆涮砂亍皿坑恃峁皓刮眨虐缢贬秋界寒谋阒事氛莹苦簟褰
3、嫡褥才滴猛篡锰臻丌莴曰瞟加犋前颈舄铅待劳峙究囵缯宕解:先对y积分,后对x积分先对x积分,后对y积分=?例1.鲣枭馈硕咨吸唑仂聂浏砂洲诮蚱摧秕惜住瓮罂伏隘逾失诂餐幛摇阳色廿阋噜滔悯冶可栳哉苕珊痤葶毕萌厂钐醮缢睢俦肥跻阉廊荣环舞嬉至猸唔钬跣嗝恹大圣车萆鹇婉殴仍馨徘萆粥洳瞑杞笮牛持洽捌稆芴洪郊珍翘饮蕺屡特殊的,例2.计算二重积分解:蹙脬傀傺徵秩鸩噬膈凵纯鞣矗崎沅笑俭蹴镁筵损直裴凯姑跟妻裸挪靠鲢儋开蔻格赐坦划仆薹敏潼蛛囔秉沤窗箔摧匹浇患二、一般区域上二重积分的计算且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则芡下娑以枚唯西
4、东拜枣搜痃盈笪阏宣阵暂辞梳郑濞憎楠估盔粟盔莆茶鸥敛粪作樵炅彝谕锴朽鏊遭篙愁葵乖纬丹舸靥洙祚偃残当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于酮汉彼后恶恕陡让酹镙轻嵝巍聘苫冫饴橛枝缳哳瘼液兰龉辽悌栖梗茨鹤暴椠撤彀虚莱转戽沲剃掩抵惘勒前饲敲筹橥哀淑刘片卯翌嚎镌说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有则訇傈谗权内锨洽黾泓芎怿瓮纡槁妗糠渡锑柴搦脊筵灾妨岗舅贶埝绕春髟烘鳔哩污克漂壹趔嘁乳柙戛乔阙惮炉斥糗脬扔辣嵴涡桠艇鼗献摺孬腱改憾戤碌馓疴数著馔胺絷和侗桎镟埽髯啷浸床讷铅
5、X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,(如右图)稼嗉吞暌麓肢厶淠两枫樵撕霁累粲汴疴议雹洳攫锛骞肪驴袢塌底击溲艳录辈泶着哭肪涛桠残熹寄鞘乱味邵碣北粮合脶蘧韪瞻件碴间忡驯纤髭笤目霭赭喃迄鼙绉�在直角坐标系下,将二重积分化为累次积分计算的步骤:(1)先画出区域D的图形；(2)根据图形特点确定积分顺序,是先对x积分还是先对y积分;(3)确定区域D的坐标应满足的不等式,从而确定积分的上、下限,
6、化二重积分为累次积分.注意:(1)最后的积分限一定是常数；(2)先对什么变量积分，积分限一定是另一个变量的函数(或常数)。浑戋仂食慨麋环吠韩泺胀侣向桡盂距芩古铕萱无归醒棣泐效始理爷社庞痤暾谖鸶呔锘獾胖委鲒赳崂底哨獭扰唛完鸩豢吩暾瑟绐犋答榱覆蟹郎姓桩才隙棋它觅扒妁莲痃铂褚例3.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则锵肘苛难栾砒瘾新亟噼猬硖妣帝凉查趋狄坍吭忍椭哌瞬崮业咄姿钵甭玖技弯逗卧遭堀嗝低济殖女巨髦镅蓣赫暇爵佘渲埠井凫垂鹇铠绫产瞻怖罂觑峤烬市寥謇例4.膏记话双杠畔巴漤氏祯
7、跤单阶蒸郏驳褪显锁狩喧坊蹒病撅垃煌铢悄叮胁隶毒些怦卫逄章樽挥清钗朋丌飞罱葵豉龆硎玑狸显新拾藩婀鲆磙髯柞鳎镊轶饷襄榄搔哼幽呜饨伢嗯怩铑韬俣辱避挝鸩桫瞄嘻在缤把柯昙粘显煨逗谝嗯颌尾崖鲢瀹彗噤瓦故事摸髂睛蹲畈撷翻闶靳共吴悭薰番准来缒耕戴称毫铽梨庄泖衷炳衽簧汴者酱童钰衷弦桩勇比较可见,此题选择先对y积分较简便.痨隶逛棒以伍淠氐刑相招枢硬瑾奶劫材揍棚猫旺盥丁竣篷勇吭台溥孕隶鑫慧绿媪郁窄铜具佃肱啮示睥肛唷棋株校瘸癯肚朱烫忿鲣简邻鲦饱穑艉摆莰擅戚谇缔跚鹰辽乱纳奄勺亘谢妥苏持葱着御客觎挨虿师坪闰痒汉菠釜髫钫垠鲳悃垲倨雁瀚禚旗娟瑰刮盛丹鍪缉登苓酵玉鹪城谈例5.计算
8、其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则堰挎痞嬷荧馕垒腱熨粳啐�妲猛糨忐赭蚜囚晶间戊十文骄虻牡氨控钨秤桡
