证明孪生素数无穷存在

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1、http://www.paper.edu.cn证明孪生素数无穷存在邹山中（广州市捷盛科技有限公司广州510620）E-mail:zsz6@tom.com摘要一种新的数论方法——“梳子法”，将自然数分为两种不同的元素－s元素和一h元素，用梳子法梳选自然数集中的元素，通过分析剩余元素的分布情况，证明了孪生素数无穷存在。关键词s元素、h元素、梳子法、纯距离、杂距离。1．引言所谓孪生素数,指的就是间隔为2的相邻素数，就像孪生兄弟一样。最小的孪生素数是(3,5)，在100以内的孪生素数还有(5,7),(11,13),(17,19),(29,3

2、1),(41,43),(59,61)和(71,73)，总计有8组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏,那么,是否存在[1]无穷多个素数p,使得p+2也是素数呢。这就是“孪生素数猜想”迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，[2]这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润利用“筛法”(sievemethod)所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数p,使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。目前一般认为，由于筛法的局限性,这一结果,在筛法范围内很难被超越。证明孪生素

3、数猜想的另一类结果是估算性的，Goldston和Yildirim所取得的结果也属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：D=liminf[(p-p)/ln(p)]n®¥n+1nn这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么Δ必须等于0，因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2对无穷多个n成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合(从而对于整个素数集合也)趋于零。不过要注意Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要

4、条件，而不是充份条件。换句话说,如果能证明Δ≠0则孪生素数猜想就不成立，但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。对于Δ最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x,在x附近素数出现的几率为1/ln(x)，这表明素数之间的平均间隔为ln(x)(这也正是Δ的表达式中出现ln(pn)的原因)，从而(pn+1-pn)/ln(pn)给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出Δ≤1。对Δ的进一步估算始于Hardy和Littlewood。一九二六年，他

5、们运用’圆法”(circlemethod)证明了假如广义Riemann猜想成立，则Δ≤2/3。这一结果后来被Rankin改进为Δ≤3/5。但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义Riemann猜想，因此只能算是有条件的结果。一九四零年，Erdös利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1(即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。此后Ricci于一九五五年，Bombieri和Davenport于一九六六年，Huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665及Δ≤0.4425。Go

6、ldston和Yildirim之前最好的结果是1http://www.paper.edu.cnMaier在一九八六年取得的Δ≤0.2486。以上这些结果都是在小数点后做文章，Goldston和Yildirim的结果把这一系列的努力大大推进了一步，因为Goldston和Yildirim证明了Δ=0。当然如我们前面所说，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而非充分条件，因此Goldston和Yildirim的结果离最终证明孪生素数猜想还远得很，但它无疑是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。本文以一种新思想新思维,将数论中的筛法改进为

7、梳法,从而将筛法对整数的研究,革命性地改成梳法对距离与面积的研究,突破了筛法本身的局限性!梳法还可证明许多有关素数分布的猜想,本文仅做孪生素数猜想的证明。2．预备工作2,1奇元素与合元素的定义及表示设O为奇数集，N为自然数集，令Q={q

8、qÎO且q³3}，那么对"qÎQ，q-1$!nÎN，使得q=2n+1，反之，对"nÎN，$!qÎQ，使得n=，Q与N之间2是一一对应关系。下面再把集合Q分成奇素数P和奇合数A两部分，有Q=PUA,PIA=F。p-1定义1（素元素和合元素）我们称集合S={s

9、s=,pÎP}中的元素为素元素，集合2a-

10、1H={h

11、h=,aÎA}中的元素,是合元素。2显然SUH=N，且SIH=F。2,2合元素的表示法对"aÎA,$pÎP,qÎQ，使得a=pq，即"hÎH,$sÎS,nÎN，使得2h+1=(2s+1)(2n+1)，从而h=(2s+1)n