递推数列解法

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1、利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由得：时，，，所以各式相加得即：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.例1.（2003天津文）已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次

2、函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是

3、关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列{an}的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得=所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例1.数列{}

4、满足,,求数列{an}的通项公式.分析1：构造转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，.此时当n为奇数时，此时,所以.故解法2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列.评注：结果要还原成n的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案4.形如型（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两

5、式相除后，分奇偶项来分求通项.例1.已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.5．形如,其中)型（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

6、例1．已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即.方法二：由时，两式相减得,数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.=(.方法三：迭代法由递推式直接迭代得===.方法四：归纳、猜想、证明.先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.6.形如型.(1)若(其中k,b是常数，且)方法：相减法例1.在数列中，求通项.解：，①时，，两式相减得.令,则利用类型5的方法知即②再由累加法可得.亦可联立①②解出.例2.在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较

7、系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：故.(2)若(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：，累加即可.②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.即：,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以.即：,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例1.（2003天津理）设为常数，且．证明对任意≥1，；证法1：两边同除以（-2）,得令,则===.证法2：由得.设，则b.即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故.评注：本题的