清北学堂 2013 寒假数学 集训六数论导学-整除与同余

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1、北京清北学堂教育科技有限公司电话：010-88400806，010-88400903网址：www.topschool.org2013寒假集训六数论导学，数论是高考中没有要求，但是中学数学竞赛大纲中提出要求的内容，需要引起同学们注意，希望能提前做好预习和学习准备.一、整除和同余知识点1、整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合.我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，aa,b如是整

2、除，b0，则b不一定是整数.由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.qabqr定义1：（带余除法）对于任一整数a和任一整数b，必有惟一的一对整数，r使得，0rb，qq并且整数和r由上述条件惟一确定，则称为b除a的不完全商，r称为b除a的余数.b

3、a若r0，则称b整除a，或a被b整除，或称a是b的倍数，或称b是a的约数（又叫因子），记为.否则，b

4、a.a,1任何a的非的约数，叫做a的真约数.0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数

5、.由整除的定义，不难得出整除的如下性质：a

6、b,b

7、c,则a

8、c.（1）若na

9、bi,则a

10、cibi,其中ciZ,i1,2,,n.（2）若i1a

11、cab

12、cb.（3）若，则反之，亦成立.a

13、b,则

14、a

15、

16、b

17、a

18、b,又b

19、a,则ab（4）若.因此，若.a

20、c,b

21、c,则ab

22、c.（5）a、b互质，若www.qbxt.cn（6）p为质数，若p

23、a1a2an,则p必能整除a1,a2,,an中的某一个.npp

24、a,则p

25、a.特别地，若为质数，nmaibk（7）如在等式i

26、1k1中除开某一项外，其余各项都是c的倍数，则这一项也是c的倍数.（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数.（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数.1/23北京清北学堂教育科技有限公司电话：010-88400806，010-88400903网址：www.topschool.org定理1：设大于1的整数a的标准分解式为ap12ppn(ppp为质数，i均为非负整12nn12nnpi11id(a)（i1)(a)数），则a的约数的个数为i1.所有的约数和为

27、：i1pi1.nnd(a)(i1)(1pipaii)事实上，由算术基本定理的推论知i1，而各约数的和就是i1展开后的各nnpi1(a)(1ppi)1ii项之和，所以i1i1pi1d(25200)(41)(21)(21)(11)90例如，25200=24·32·52·7，所以，533221315171(25200)9994421315171.2、最大公约数和最小公倍数c

28、a,c

29、bc为a,b定义2：设a、

30、b是两个不全为0的整数.若整数c满足：，则称的公约数，a与b的所有(a,b)(a,b)公约数中的最大者称为a与b的最大公约数，记为.如果=1，则称a与b互质或互素.定义3：如果d是a、b的倍数，则称d是a、b的公倍数.a与b的公倍数中最小的正数称为a与b的最小[a,b]公倍数，记为.(a,a,,a)a,a,,a最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用12n表示12n的[a,a,,a]a,a,,a最大公约数，12n表示12n的最小公倍数.(a,a,,a)1a,a,a

31、,,aa,a,,a若12n，则称123n互质，若12n中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n个整数互质与n个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于a,b与

32、a

33、,

34、b

35、(a,b)(

36、a

37、,

38、b

39、)有相同的公约数，且www.qbxt.cn（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍

40、数.nnapi,bpi(piii显然，若a,b的标准分解式为i1i1为质数，ai,i为非负整数），则n(,)abpmin(ii,)①ii12/23北京清北学堂教育科技有限公司电话：010-88400806，010-88400903网址：www.topschool.orgn[,]abpmax(ii,)②ii1例如3960=23·32·5·11，756=22·33·7，则（3960，756）=22·32=36，[3960，756]=23·33·5·