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1、第六讲二重积分题型一与二重积分概念和性质有关的题【例1】设,其中,则(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小，利用二重积分性质可比较二重积分大小。在区域上，除原点及边界外，有而在内，是严格单调减函数，于是因此，故应选(A).【例2】设,,,则(A)(B)(C)(D)（09，1）1如图,正方形被其对角线划分为1四个区域,,-1-1则()(A).(B).(C).(D).【答案】(A)【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.令,两区域关于轴对称,,即被积函数是关于
2、的奇函数,所以；两区域关于轴对称,,即被积函数是关于的偶函数,所以所以正确答案为(A).【例3】设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【详解】因为为一确定的数，不妨设，则，所以，解之得，所以，故应选(C).题型二更换二重积分的次序与改变坐标系【例4】交换积分次序_________.【答案】【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域：,即中最低点的纵坐标,最高点的纵坐标,的左边界的方程是,即的右支,的右边界的方程是即
3、的右半圆,从而画出的图形如图中的阴影部分,从图形可见,且所以【例5】交换二次积分的积分次序：【答案】Oxyx+y=1x=21【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在内，，题设的二次积分并不是在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：其中再由图所示，又可将改写为于是【例6】设函数连续,则()(A).(B).(C).(D).【答案】(C)【解析】的积分区域为两部分：将其写成一块,故二重积分可以表示为,故答案为(C).【例7】累次积分可以写成()(A)(B)(C)(D)【答案】(
4、D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系中是1即是由与轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于的最左边点的横坐标是,最右点的横坐标是1,下边界方程是上边界的方程是,从而的直角坐标表示是故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形所以,他们都是不正确的.故应选(D).【例8】设函数连续,区域,则等于()(A).(B)(C).(D)【答案】D【详解】由，则积分区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，积分
5、区域见右图.在直角坐标系下,先后，，则应是先后，由，则应是故应排除.在极坐标系下,,,故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为，则可排除C题型三二重积分的基本计算方法【例9】计算,其中由和围成.解【例10】计算二重积分,其中D是由直线,所围成的平面区域.【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下：积分区域如下图所示.，故.【例11】设平面区域D由直线圆及y轴所组成，则二重积分.【答案】详解:原式．【例12】计算,其中由所确定.解法1圆在极坐标下方程为,则.解法2令,此
6、时,则注意解法3由于而(利用奇偶性)则(积分域面积)解法4由对称性知,其次为积分域的形心的坐标,应为,为积分域的面积,应为,则类似题1（09,2，3）xyOD计算二重积分,其中.【解析】解法1如右图所示,区域的极坐标表示为.xyO(2,2)解法2将区域分成两部分(如右图),其中由二重积分的性质知,而所以.类似题2（94,3）计算二重积分其中.【解析】方法1：由,配完全方得.令,引入极坐标系,则区域为.故.方法2：由,配完全方得.引入坐标轴平移变换：则在新的直角坐标系中区域变为圆域.而,则有,代入即得.由于区域关于轴
7、对称,被积函数是奇函数,从而.同理可得,又,故.【例13】计算,其中是由以及曲线所围成.解法1在直角坐标下华为累次积分计算(令).于是.事实上,计算还有一种巧妙的方法.而应等于半圆的面积,故.解法2解法3由于积分域关于直线上下对称,则故解法4由形心计算公式知,由于积分域关于对称,则,而,故.题型四利用对称性计算二重积分【例14】设区域,为上正值连续函数,为常数,则(A)(B)(C)(D)解法1直接法由于积分域关于直线对称,则原式,故应选(D)解法2排除法取,显然符合题设条件,而显然(A),(B),(C)均不正确,故
8、应选(D).【例15】设区域，计算二重积分【详解】积分区域对称于轴，为的奇函数，从而知所以【例16】设，则.【答案】【详解】【例17】设区域为,则_____________.【答案】【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式.注意：,则原式.【例18】计算二重积分，其中由曲线与直线及围成详解：积分区域如图，其中因为区域关于轴对称，被积函数是的奇函
