数学建模概率统计建模的理论和方法

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1、建模中的概率统计原理及方法1数据的统计描述及分析参数估计假设检验主要内容随机变量及其分布2一、随机变量及其分布1.二项分布例1.能量供应问题假定有个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率p需要一个单位的电力。那么，同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。用X表示这个随机变量，记做，且这是非常重要的一类概率分布。其中E(X)＝np，D(X)=np(1-p)。3其次，要根据经验来估计出，p值是多少？例如，一个工人在一

2、个小时里有12分钟在使用电力，那么应该有最后，利用公式我们求出随机变量X的概率分布表如下：X012345678910P0.1073740.2684350.301990.2013270.088080.0264240.0055050.0007860.0000740.0000040.000000累积概率0.1073740.375810.67780.8791260.9672070.9936310.9991360.9999220.99999611为直观计，我们给出如下概率分布图：4可以看出，也就是说，如果供应6个单位的电力，

3、则超负荷工作的概率只有0.000864，即每中，才可能有一分钟电力不够用。还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的1/11还要小。问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。什么样的随机变量会服从二项分布？进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数是一个服从二项分布B（n，p）。5练习：用MATLAB计算本题binopdf(x,n,p)计算x中每个值对应的二项分布概率binocdf(x,n,p)计算x中每个值对应的分布函数值例如bin

4、opdf(0:10,10,0.2)62.Poisson分布例2.Rutherford对裂变物质的观测英国著名物理学家Rutherford（1871－1937）在其放射性物质试验中，观测在时间间隔ΔT内放射性物质放射出的α粒子数。实际试验时，取时间间隔为ΔT=7.5秒，观测了N＝2608次，将每次观测到的粒子数记录下来，列在下表中第1，2行：粒子数X0123456789>=10频数n57203383525532408273139452716频率f0.0218560.0778370.1468560.2013040.20

5、39880.1564420.1046780.0532980.0172550.0103530.006135概率p0.0208580.0807220.1561970.2014940.1949450.1508880.0973230.0538050.0260280.0111920.0065477我们用X表示ΔT=7.5秒内观测到的α粒子数，它是一个随机变量，服从什么分布呢？在2608次观测中，共观测到10094个α粒子数，平均每次观测到λ=M÷N＝10094÷2608≈3.87个α粒子数，用参数为λ=3.87的Poisso

6、n分布P计算一下：将计算结果列在上表中最后一行，与列在第3行的实际频率比较，比较的图示在下图中。（Excel）8可以看出，认为X服从参数为3.87的Poisson分布还是非常合理的。在后面统计部分,我们会用Pearson－拟合检验法来证明这种合理性9问题：Poisson分布是又一类非常重要的用来计数的离散型分布，它依赖于一个参数。什么样的随机变量会服从Poisson分布呢？练习：用MATLAB计算本题poisspdf（x，λ），计算poisson概率，例如，poisspdf(0:9,3.87)10在给定的观测范围内

7、（例如给定时间内，给定区域内等等），事件会发生多少次？把观测范围分成n个小范围：给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，发生多少次取决于小范围的大小；2.在不同的小范围内发生多少事件相互独立；3.在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范围的大小相比可以忽略不计，用表示在小范围内事件发生一次的概率。那么在给定范围内发生的总事件数X近似服从,为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令，则为给定范围内事件发生次数的准确平均值，这时这正是Poisson分布，其中参数113.正态分布则称此随机变量服从参数为的正态分布

8、，记做，其中都是给定的参数，。称为标准正态分布，用表示其分布函数，其密度函数为时，我们有随机变量X如果有密度函数12大量连续型随机变量服从正态分布，所以正态分布在处理数据时是非常有用处的。我们在统计部分会大量用到它。下面是正态分布的密度函数图像：134.指数分布称随机变量X服从参数为1的指数分布或标准指数分布，若它有密度函数它的分布函数为14设是给定常数，则