实用数值计算方法-7-方程求根

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1、计算方法授课老师：聂德明nieinhz@cjlu.edu.cn仰仪北楼606计量测试工程学院NumericalMethod方程求根1问题的提出2二分法3迭代法4牛顿法及割线法预备知识1.Taylor公式拉格朗日余项：2.拉格朗日中值定理预备知识若f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则存在ξ∈[a,b]，使：或设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上单调递增(递减)的充要条件是3.函数的单调性预备知识1问题的提出方程的一般形式：f(x)=0，满

2、足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。实际问题代数方程5次以上的方程无求根公式超越方程：包含超越函数，如sinx,lnx,ex近似求解1问题的提出求根的隔离区间，即确定根所在区间根的精确化。粗糙的近似值--->满足精度的近似值方程求根步骤：1问题的提出求根的隔离区间设函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。函数y=f(x)与横轴(y=0)交点f(x)=0→f1(x)=f2(x)，函数f1(x)与f2(x)的交

3、点区间[a,b]内选择x1,x2,x3,x4……，根据f(x)在这些点上值的符号确定2二分法二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。设函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。2二分法误差估计对于所给定的精度ε，则可得2二分法例3用二分法求下列方程在区间[0,1]内的实根，要求有3位有效数字。3迭代法基本思想：逐次逼近粗糙的初值校正后的近似值迭代公式END满足精度不满足精度3迭代法可得序列{xk}:

4、x0,x1,x2,x3,……如果当k→∞时，序列{xk}有极限x*，则x*是方程f(x)=0的根。→迭代公式序列有极限：迭代公式收敛序列无极限：迭代公式发散用迭代法求下列方程在区间[2,4]的根。3迭代法取x0=4，则收敛3迭代法取x0=4，则发散几何意义3迭代法假设迭代函数φ(x)在[a,b]上具有一阶连续的导数，且满足当x[a,b]时，φ(x)[a,b]；存在正常数L<1，使得

5、φ’(x)

6、L;则方程在[a,b]上有唯一根x*对任意x0[a,b]，迭代格式xk+1=φ(xk)都收敛到x*定理1

7、定义1：局部收敛性对于方程x=φ(x)，若在x*的某个领域S={x

8、x[x*-δ,x*+δ]}内，对任意初值x0S，迭代格式xk+1=φ(xk)都收敛，则称该迭代格式在x*的附近是局部收敛的。3迭代法定理3设方程x=φ(x)有根x*，且在x*的某个领域S={x

9、x[x*-δ,x*+δ]}内存在一阶连续导数，则当

10、φ’(x*)

11、<1时，迭代格式xk+1=φ(xk)局部收敛当

12、φ’(x*)

13、>1时，迭代格式xk+1=φ(xk)发散3迭代法迭代法的收敛速度（收敛阶）p=1，且0<

14、c

15、<1，称为线性收敛p

16、=2，称为平方收敛假设迭代函数φ(x)在[a,b]上具有一阶连续的导数，且满足当x[a,b]时，φ(x)[a,b]；存在正常数L<1，使得

17、φ’(x)

18、L;则方程在[a,b]上有唯一根x*对任意x0[a,b]，迭代格式xk+1=φ(xk)都收敛到x*定理1定理2.4若φ(x)在x*附近的某个领域内有p阶(p≥1)连续导数，且φ(x*)=x*,φ’(x*)=0,……φ(p-1)(x*)=0,φ(p)(x*)≠0,则对一个任意靠近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=φ(xk)是p阶收敛的，且有3迭代法

19、3迭代法迭代法的收敛速度（收敛阶）p=1，且0<

20、c

21、<1，称为线性收敛p=2，称为平方收敛假设迭代函数φ(x)在[a,b]上具有一阶连续的导数，且满足当x[a,b]时，φ(x)[a,b]；存在正常数L<1，使得

22、φ’(x)

23、L;则方程在[a,b]上有唯一根x*对任意x0[a,b]，迭代格式xk+1=φ(xk)都收敛到x*定理1定理2.4若φ(x)在x*附近的某个领域内有p阶(p≥1)连续导数，且φ(x*)=x*,φ’(x*)=0,……φ(p-1)(x*)=0,φ(p)(x*)≠0,则对一个任意靠

24、近x*的初始值x0，迭代公式xk+1=φ(xk)是p阶收敛的，且有2.3迭代法2.4牛顿法牛顿迭代公式几何意义x2x0x1x*牛顿迭代法x3y=f(x)4牛顿法局部收敛性定理2.3设方程x=φ(x)有根x，且在x*的某个领域S={x

25、x[x*-δ,x*+δ]}内存在一阶连续导数，则当

26、φ’(x*)

27、<1时，迭代格式xk+1=φ(xk)局部收敛当

28、φ’(x*)

29、>1时，迭代格式xk+1=φ(xk)发散4牛顿法局部收敛性定理4若