高中数学第一讲三个正数的算术—几何平均不等式学案新人教a版

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1、第3课时　三个正数的算术—几何平均不等式学习目标　1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问题．知识点　三项均值不等式思考　类比基本不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三项的均值不等式．答案　≥.梳理　(1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理3)如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，

2、当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．(3)重要变形及结论①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc；③≤≤≤.上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为a＝b＝c.类型一　用平均不等式求最值例1　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；(2)求函数y＝x＋(x＞1)的最小值．解　(1)∵1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.又y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，即x＝∈时，ymax＝.(2)∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋＝(x－1)＋(x

3、－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时等号成立．即ymin＝4.反思与感悟　(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练1　求函数y＝(1－3x)2·x的最大值．解　y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x≤3＝，当且仅当1－3x＝1－3

4、x＝6x，即x＝时，ymax＝.类型二　用平均不等式证明不等式例2　已知a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.证明　∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2，当且仅当a＝b＝c，且abc＝时等号成立．∴a3＋b3＋c3＋≥2.引申探究若本例条件不变，求证：＋＋≥3.证明　＋＋＝＋－3≥3＋3－3＝6－3＝3，当且仅当a＝b＝c时取等号．反思与感悟　证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知

5、条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．跟踪训练2　已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.证明　∵1＋x＋y≥3＞0,1＋x＋z≥3＞0，1＋y＋z≥3＞0，∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.又∵xyz＝1，∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27，当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立．类型三　用平均不等式解决实际应用问题例3　如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②)

6、．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．解　设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0＜x＜1)，则OB1＝B1B2＝x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1＝A1A2＝1，∴A1B1＝OA1－OB1＝1－x.作B1C1⊥A1A2于点C1，在Rt△A1C1B1中，∠B1A1C1＝60°，则容器的高B1C1＝A1B1sin60°＝(1－x)．于是容器的容积为V＝f(x)＝Sh＝·(1－x)＝x2(1－x)(0＜x＜1)．则f(x)＝x2(1－x)＝·x·x(2－2x)≤·3＝

7、，当且仅当x＝x＝2－2x，即x＝时，Vmax＝.故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.反思与感悟　利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)验证相等条件，得出结论．跟踪训练3　已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？解　设内接圆柱的体积为V，又R2＝r2＋，∴r2＝R2－，∴

8、V＝πr2h＝πh.又V＝(4R2－h2)·h＝＝≤＝πR3，当且仅当4R2－h2＝2h2，即h＝R，此时r＝R时，等号成立．∴当h＝R，r＝R时，内接圆柱的体积最大为πR3.1．函数f(x)＝＋2x(x＞0)的最小值为(　　)A．3B．4C．5D．6答案　A解