小专题(九)　与圆的基本性质有关的计算与证明

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1、华章文化word版习题小专题(九)　与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE.2．(南京中考)如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角，(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝________；(2)若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝45°.(1)求∠ABD的度数；(2

2、)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．4．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．(1)若∠AOB＝56°，求∠ADC的度数；(2)若BC＝6，AE＝1，求⊙O的半径．5．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？6．(安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P

3、在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于点G，F，E.求证：www.sjhzhb.com（编辑部）027-87778916华章文化word版习题(1)F是BC的中点；(2)∠A＝∠GEF..8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求D

4、E的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．参考答案1．证明：∵AB∥CE，∴∠C＝∠BAC.又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.∴∠C＝∠CAD.∴＝.∴＋＝＋.∴＝.∴AD＝CE.　2.(1)90°　(2)连接OA，OB，AB.∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，又∵AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°.∴∠APB＝∠AOB＝45°.3.(1)∵∠C＝45°，∴∠A＝∠C＝45°.∵AB是⊙O的直径，∴

5、∠ADB＝90°.∴∠ABD＝45°.(2)连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3.　4.(1)∵OA⊥BC，www.sjhzhb.com（编辑部）027-87778916华章文化word版习题∴＝，∴∠ADC＝∠AOB.∵∠AOB＝56°，∴∠ADC＝28°.(2)∵OA⊥BC，∴CE＝BE.设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OB＝r，在Rt△BOE中，OE2＋BE2＝OB2，∵BE＝3，则32＋(r－1)2＝r2.解得r＝5.　5.(1)∵

6、直径AB＝26m，∴OD＝AB＝×26＝13(m)．∵OE⊥CD，∴DE＝CD.∵OE∶CD＝5∶24，∴OE∶ED＝5∶12，∴设OE＝5x，ED＝12x.∴在Rt△ODE中，(5x)2＋(12x)2＝132.解得x＝1.∴CD＝2DE＝2×12×1＝24(m)．(2)由(1)得OE＝1×5＝5(m)，延长OE交圆O于点F，∴EF＝OF－OE＝13－5＝8(m)．∴8÷4＝2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．　6.(1)连接OQ，∵PQ∥AB，PQ⊥OP，∴OP⊥AB.∵AB＝6，∴OB＝3.∵∠ABC＝30°，∴

7、PB＝2OP.在Rt△PBO中，PB2＝OP2＋OB2.设OP＝x，则PB＝2x.则(2x)2＝x2＋32.解得x＝，∴OP＝.由勾股定理得PQ＝＝＝.(2)连接OQ，由勾股定理得PQ＝＝.要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时OP⊥BC，∵∠ABC＝30°，∴OP＝OB＝，此时PQ最大值＝＝.　7.证明：(1)连接DF，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝DC＝AB.∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC.∴BF＝FC，即F是BC的中点．(2)∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，∴∠A＝∠BDF.∵∠BDF＝

8、∠GEF，www.sjhzhb.com（编辑部）027-87778916华章文化word版习题∴∠A＝∠GEF.　8.(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(