计算机图形学电子教案

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1、第7章曲线与曲面曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前deCasteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究

2、了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。曲线的表示形式7.1曲线曲面基础r(t2)r(t1)OYXZ图7-1空间曲线平面曲线的直角坐标表示形式为：或其参数方程则为：平面上一点的位置可用自原点到该点的矢量表示：上式称为曲线的矢量方程，其坐标分量表示式是曲线的参数方程。三维空间曲线可

3、理解为一个动点的轨迹，位置矢量r随时间t变化的关系就是一条空间曲线。矢量方程为：三维空间曲线的参数方程为：法平面密切平面从切面tnρbP图7-2曲线特性分析用s表示曲线的弧长，以弧长为参数的曲线方程称为自然参数方程。以弧长为参数的曲线，其切矢为单位矢量，记为t(s)。切矢t(s)对弧长s求导，所得导矢dt(s)/ds与切矢相垂直，称为曲率矢量，如图7-2，其单位矢量称为曲线的单位主法矢，记为n(s)，其模长称为曲线的曲率，记为k(s)。曲率的倒数称为曲线的曲率半径，记为与t和n相互垂直的单位矢量称为副法矢，记为b(s)。由t和n张成的平面称为密切平面；由n和b张成的平面称为法平

4、面；由t和b张成的平面称为从切面。曲面的表示形式一般曲面可表示为：或其参数表达式为：曲面的矢量方程为：参数u、v的变化区间常取为单位正方形，即u,v∈[0,1]。x，y，z都是u和v二元可微函数。当(u，v)在区间[0，1]之间变化时，与其对应的点(x，y，z)就在空间形成一张曲面。u映射空间域参数域vrvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)图7-3空间曲面r对u和v的一阶偏导数为：一阶偏导数ru(u，v)和rv(u，v)继续对u，v求偏导数，得到四个二阶偏导数ruu、ruv、rvu、rvv：直纹面旋转面“线动成面”双线性插值曲面Coons曲面是已知曲面片的四条边界曲

5、线，由两张直纹曲面的和减去一张双线性插值曲面得到的：这种布尔和形式的曲面是Coons于1967年研究的，拼合时，整张曲面C0连续，即位置连续。要达到C1连续，必须考虑跨界切矢的插值。Coons曲面（麻省理工学院）双线性插值曲面，采用了“先定义线，然后线动成面”的思想。张量积曲面也是采用“线动成面”的思想，是CAGD中应用最广泛的一类曲面生成方法参数u的分割：及其上的及调配函数参数v的分割：及其上的及调配函数定义在uv平面的矩形区域上的这张曲面称为张量积曲面。张量积曲面的特点是将曲面问题化解为简单的曲线问题来处理，适用于拓扑上呈矩形的曲面形状。映射空间域参数域vu张量积曲面切矢方

6、向与模：方向相同，模不同，G1连续；方向相同，模相同，C1连续；已知曲线r1(u)的末端和曲线r2(v)的首端相连，其不同阶次连续性的要求如下：位置连续(C0)：曲线段r1(u)的末端与曲线段r2(v)的首端达到位置连续的条件为：r1(1)＝r2(0)斜率连续(C1):曲线段r1(u)的末端与曲线段r2(v)的首端达到斜率连续的条件为：若k=1，说明曲线段r1(u1)的末端切矢与曲线段r2(u2)的首端切矢方向相同、模长相等，称为C1连续。若k≠1，则说明两段曲线在公共连接点处切矢方向相同，但模长不相等，这种情况是几何连续的，称为G1连续，也称视觉连续。曲率连续(C2):两曲线

7、段曲率连续应满足：(1)位置连续；(2)斜率连续；(3)曲率相等且主法线方向一致。对于曲面片，若两个曲面片在公共连接线上处处满足上述各类连续性条件，则两个曲面片之间有同样的结论。G2连续满足条件:几何意义是：曲线段r2(u)首端的二阶导矢应处在由曲线段r1(v)末端的二阶导矢和一阶导矢所张成的平面内。C2连续满足条件:曲线曲面的光滑连接曲线设计基础插值曲线和拟合曲线（InterpolatecurveandFitcurve）原始数据点精确原始数据点不精确XYX’Y’由一组基函数及相联系的系数矢