构造等腰三角形解题的常见途径（陈亚琼）

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1、构造等腰三角形解题的常见途径之朴中学陈亚琼等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形图1①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG　　当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△ACE是等腰三角形；如图1②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；如图1③中，AD平分∠BAC，CE

2、∥AB，则△ACE是等腰三角形；如图1④中，AD平分∠BAC，EF∥AD，则△AGE是等腰三角形．1、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．求证：AE＝AP．简析　要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．图4FCDEBAMCABEDO图3图2FBACDPE2、如图3，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相

3、交于点O，过点O作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E．试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由．简析　猜想：AD+CE＝DE．理由如下：由于OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的平分线，DE∥AC，所以△ADO和△CEO均是等腰三角形，则DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE．3、如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC．求证：EF∥AB．简析　由于这里要证明的是EF∥AB，而AD平分∠BAC，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰

4、三角形了，于是DE＝CD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M，使DM＝AD，连结EM，则可证得△MDE≌△ADC，所以ME＝AC，又EF＝AC，∠M＝∠CAD，所以∠M＝∠EFM，即∠CAD＝∠EFM，又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠EFD＝∠CAD，所以EF∥AB．二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形　当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形．E图5ABCD图6BFDECA　　4、如图6，已知等腰Rｔ△ABC中，

5、AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D．求证：BF＝2CD．简析　由BF平分∠ABC，CD⊥BD，并在图5的揭示之下，延长线BA、CD交于点E，于是△BCE是等腰三角形，并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE，而事实上，由∠BAC＝90°，CD⊥BD，∠AFB＝∠DFC，得∠ABF＝∠DCF，而AB＝AC，所以△ABF≌△ACE，则BF＝CE，故BF＝2CD．三、利用转化倍角，构造等腰三角形　　当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等

6、腰三角形．如图7①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形；如图7③中，若∠B＝2∠ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形．图7BCDA①②BCDA③BCDA　　E图8CBAD5、如图8，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC．求证：∠A＝90°．　　简析　由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此

7、首先考虑对∠ACB＝2∠B进行技术处理，即作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC于E，则由∠ACB＝2∠B知∠B＝∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，所以BC＝2CE，又BC＝2AC，所以AC＝EC，所以易证得△ACD≌△ECD，所以∠A＝∠DEC＝90°．说明　本题也可以利用图7的②、③来构造等腰三角形求解．三、割补法（截长补短）6、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°。求证:EF=DE+BF。证明:延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。∵ABCD是正方形∴∠A

8、DG=∠ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴ADG≌ABF(SAS)∴∠GAD=∠FAB，AG=AF∵ABCD是正方形∴∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF(SAS)∴EF=GE=GD+DE=BF+DE