22届高数竞赛

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1、中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷专业班级：学号：姓名：成绩：页号一二三四五六七总分得分说明：1.答案必须写在题目指定的空白处,否则无效.2.题目所在页背面为草稿纸.3.试卷正文共7页.中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办基础数学系承办2008年6月8日一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1..解题过程是：2..解题过程是：3.，则的零点个数为：.解题过程是：4..解题过程是：5..解题过程是：6..解题过程是：解题过程是：8..解题过程是：9..解题过程是：10

2、.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：2..解题过程是：3.解题过程是：解题过程是：5.解题过程是：6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.解题过程是：7.设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.解题过程是：三、证明题（本题8分）：中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）

3、：1..解题过程是：2..解题过程是：.3.，则的零点个数为：1个.4..5..解题过程是：6...解题过程是：8..解题过程是：.9..解题过程是：10.解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：2...解题过程是：2.解题过程是：解题过程是：5.解题过程是：解：构造拉格朗日函数：条件极值驻点为：，，最远点为，最近点为6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.[解]以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一侧，，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所

4、围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得,即解线性非齐次方程得.7.设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.[解]设点Q为，则球面的切平面方程为垂线方程为代入及切平面方程得，，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得..三、证明题（本题8分）：证：由定积分中值定理，可知至少存在一点又由