函数图像的对称性问题(01)

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1、函数图像的对称性问题函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面，现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。1.函数自身的对称性探究（1）奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于y轴对称.2b（2）函数f(x)axbxc(a0)（a≠0）的图象关于直线x对称.2a（3）正弦函数y=sinx（x∈R）的图象关于直线x=k+对称：关于点（k,20）中心对称（k∈Z）余弦函数y=cosx(x∈R)的图象关于直线x=k对称：关于点（k,0）2中

2、心对称（k∈Z）.k正切函数y=tanx(xk+)的图象关于点（,0）中心对称（k∈Z）.225典例1：函数ysin(2x)的图像的一条对称轴的方程是（）25A.xB.xC.xD.x248455解：函数ysin(2x)的图像的所有对称轴的方程是2xk，222k所以x，显然取k1时的对称轴方程是x，故选（A）。22ab(4)函数yf(x)的图象关于直线x对称2f(ax)f(bx)f(abx)f(x)证明：对任意x∈R，都有f（a＋x）=f（

3、b－x）时，有点（a＋x，f（aaxbxab＋x））与点（b－x，f（b－x））存在关系：，f（a＋x）=f22（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b－x））关于直线成轴对称，又由x的任意性可知：函数y=f（x）关于直线成轴对称。反之亦然。特例：函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)函数yf(x)的图像关于y轴对称f(x)f(x)【偶函数是4的特例】ab一般结论【函数yf(x)的图象关于直线x对称2f(a

4、mx)f(bmx)f(abmx)f(mx)】典例2：二次函数f（x）满足f（2＋x）=f（2－x），又f（2）=1，f（0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（）（A）0＜m≤2（B）m≥2（C）m＞0（D）2≤m≤4解：由函数的轴对称性可知：二次函数f（x）关于直线x=2对称，又f（2）=1，f（0）=3，∴f（x）在[0，2]上是减函数，∴f（x）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f（2+2）=f（2－2）即f（4）=f（0）∵f（x）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴2≤m≤4选

5、（D）13典例3：函数f（x）对一切实数x都满足f(x)f(x)，并且f（x）=044有3个实根，求这3个实根之和。131解：由f(x)f(x)可知：函数f（x）关于直线x对称，442又∵f（x）=0有3个实根，11∴f（x）=0必有一根是x，且其余两根x2、x3关于x对称，12213∴x2x321∴x1x2x322(5)函数yf(x)的图像关于点A（a，b）对称f(x)f(2ax)2b【f(ax)f(ax)2b】证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，‘

6、∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。‘‘故点P（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得征。特例：函数yf(x)的图像关于原点O对称f(x)f(

7、x)0【奇函数是5的特例】若f(x)f(x2a),则函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称典例4：已知f（x）+f（2－x）+2=0对任意实数x恒成立，则函数f（x）图象关于对称解：由f（x）+f（2－x）+2=0得：f（x）+1=－[f（2－x）+1]令φ（x）=f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1∴φ（x）=－φ（2－x）∴φ（x）关于点（1，0）对称，又f（x）=φ（x）－1故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。ax1典例5：【可不看】已知函数f(x)的反函数f(x)的图象的对

8、称中心xa1是（－1，3），则实数a等于（）（A）2（B）3（C）－2（D）－41(a1)xa解：f(x)x11∵f(x)关于点（－1，3）对称，1=6－1∴f(x)f（－1－x）(a1)(1x)a(a1)(1x)a即：6，也即：（2a