第3讲二元一次不等式（组）与简单的线性

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1、第3讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1．不等式x－2y＞0表示的平面区域是(　　)．解析　将点(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0.答案　D2．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是(　　)．A．14B．16C．17D．19解析　线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值为16.答案　B3．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a

2、的取值范围是(　　)．A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析　画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.答案　C4．设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)．A.B.C.D．4解析　由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1.∴＋＝·＝＋＋≥＋2＝.答案　A5．实数x，y满足若目标函数z＝x

3、＋y取得最大值4，则实数a的值为(　　)．A．4B．3C．2D.解析　作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.答案　C6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克

4、．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)．A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析　设某公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x，y满足的线性约束条件为目标函数z＝300x＋400y.作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值，由得B(4,4)，满足题意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2800.答案　C二、填空题7．若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．解析　画

5、出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.答案　－18．若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．解析　记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.答案　[－3,0]9．设实数x、y满足则的最大值是________．解析　不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设＝t，则y＝tx，求

6、的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．由解得A.代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.答案　10．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．解析　目标函数z＝x＋my可变为y＝－x＋，∵m>1，∴－1<－<0，z与同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P时，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1

7、x，y,1－x－y是三角形的三边长}．(1)求出x，y所满足的不等式；(2)画出点(x，y)所在的平面

8、区域．解(1)已知条件即化简即(2)区域如下图．12．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x、y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝

9、0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋