江苏2020版高考数学第二章函数的概念与基本初等函数ⅰ第八节函数与方程学案（理）（含解析）

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1、第八节函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0图象与x轴的交点(x1,0)，(x

2、2,0)(x1,0)无交点零点个数[小题体验]1．(2019·苏州调研)函数y＝e2x－1的零点是________．答案：02．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数是______．答案：13．(2019·海门中学月考)若方程x－2x＝6的解所在的区间是(k，k＋1)，则整数k＝________.解析：令f(x)＝x－2x－6，根据方程x－2x＝6的解所在的区间是(k，k＋1)，f(x)在(k，k＋1)上单调递减，可得f(x)＝x－2x－6在区间是(k，k＋1)上有唯一零点，故有f(k)f(k＋1)＜0，再根据f(－2)＝2＞0，f(－1)＝－2＜0，可得k＝－2.答案：－21．函数f(x

3、)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为______．答案：－，，1,22．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·

4、f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④　[题组练透]1．已知定义在R上的函数f(x)图象的对称轴为x＝－3，且当x≥－3时，f(x)＝2x－3.若函数f(x)在区间(k－1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为________．解析：当x≥－3时，由f(x)＝2x－3＝0，解得x＝log23.因为1＜log23＜2，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k＝2.又函数f(x)的图象关于x＝－3对称，所以另外一个零点在区间(－8，－7)上，此时k＝－7.答案：－7或22．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在

5、的区间为________．解析：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．答案：(1,2)3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：因为f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，所以

6、(x－6)(x＋3)＝0.因为x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，所以f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)＜0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．　[典例引领]1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝co

7、s在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.答案：32．函数f(x)＝的零点个数是________．解析：当x＞0时，由lnx－x2＋2x＝0，得lnx＝x2－2x.作出函数y＝lnx，y＝x2－2x的图象(图略)，由图象可知有两个