包装箱里的秘密(1)

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1、包装箱里的秘密----对圆柱形饮料包装问题的探究温二十中杨莎丽陈缘现在我们已经是初二的学生了，在学习数学的过程中，我们会遇到各种各样不同题型的题目。今天我研究与分析的这种题型就包含了一个大多数学生在解题时会犯的致命错误——没有把题目与现实紧密联系。像这种需要我们自己将生活与题目相联系的题型是非常重要的，也是十分普遍的。它可以考验我们的思维能力与细心程度。接下来，我将示例一题与这个错误相关联的典型题目。并将这个错误的原因与正确的解答进行简单解析和深化。每逢节假日，亲朋好友不免要送上几箱“王老吉”或“冬瓜茶”之类的饮料，还有各种

2、酒类。这些大大小小的包装箱堆满房子的每个角落。跟我一起来看看这包装箱里的秘密吧。打开包装箱，里面是排放规整的的饮料罐。看着这些饮料罐，我们开始观察与研究其包装方法。一、提出问题其实，如果仔细观察，再加以联想的话，你就会发现他与数学有着密切的关系。如果把瓶装饮料装进一个包装箱设计成一个问题的话，这就是一道数学应用题：一个包装箱长为60厘米，宽为40厘米，高10厘米。要在这个包装箱里尽可能多的瓶装饮料。该瓶装饮料高10厘米，底为直径10厘米的圆。问题是最多能放多少瓶。二、解决问题1、错解带来问题面对这样的问题，我们应该先看清楚，

3、想明白，这道题到底是在问我们什么。我们要求什么，我们需要什么来引导，作为条件。如果没有看清楚这些条件之间的关系，也许我们就会误入歧途。如有的朋友一看到这个问题就直接想到面积问题。第一步他一般会把瓶子的底面积求出，然后把瓶底所对的面的面积求出，最后把后者除以前者得出结果一，即60×40÷［（10÷2）2π］≈30（瓶），第二步他求出包装箱的高与一个瓶子的高的商，再以结果乘以30，即10÷10×30＝30（瓶）当然，他会考虑到这两个结果必须都是整数。如果不是整数就必须要去掉小数点后的所有小数，而不是像往常一样将小数进行四舍五入。

4、因为这样使结果更具真实性。这个处理是他对现实生活的考虑，也是解决问题时特别要注意的一点。这个解析过程，看似条理清晰，没有漏洞，其实这是一个典型的错误。让我们来细细观察以上解析过程。你就会发现，他其实犯的还是我刚才所说的对现实生活没有考虑的错误。从他的解析过程中不难发现，他一开始进入题目的思维就是错误的。因为这道题目是把瓶装饮料放入四四方方的包装箱内，而不是把长方体状的产品装入四四方方的包装箱中，可以把包装箱实实地填满，而瓶装饮料存在缝隙。所以我们就不能从面积入手。不过他最后一步将所有结果取整化，这是对现实生活的考虑，这是特别

5、好的一点。2、正解引发思考再细观这个问题，你就会发现，其实这道题就是把产品堆进包装箱内，而垒起一个高度和放置宽度的问题。实质上这道题的正确解答过程应该是：第一步，用包装箱的宽除以瓶装饮料的底面直径，得出一排所放的瓶数。第二步用包装箱的长除以瓶装饮料的底面直径，得出排数。第三步以排数乘以一排的瓶数，得出一层的瓶数。第四步用包装箱的高除以一个瓶装饮料的高，得出层数。再以一层的瓶数乘以层数得出总瓶数。最后一步，也是最重要的一步就是写出答。所有的解题过程即为：40÷10＝4（瓶），60÷10＝6（排），4×6＝24（瓶），10÷10

6、×24＝24（瓶）答：最多能装24瓶。以上是完整的解答过程。在这个过程中，每一步都要取整，这也是出于对现实生活的考虑。以上是解题方案的其中一种，当然会有更多其它的解答过程。例如我们改变该包装箱内瓶装饮料的摆法。（如图）：每排完一排后，你就会发现，图中有一个分别以三个瓶底圆心的等边△ABC。只要求得AB边上的高，再加上我们由于取瓶底圆心作顶点而去掉的上下各5厘米即10厘米，得出结果一。将结果一与该图形的宽进行比较。如果宽的值大于结果一，则再加上一排，用以上方法再测一遍。直到结果一的值比宽的值大，这时该包装箱能装入的总瓶数，就是

7、以上所有排的瓶数之和与最后一排的瓶数的差。以下是排几排的结果：排数边长AB边上的高加上10AB边上的高与包装箱的宽的差2108.6602518.66025－21.3397532017.3205027.32050－12.679543025.9807635.98076－4.0192454034.6410244.641024.64102…………………………以上数据显示44.64＞40，在包装箱内排下4排后，就无法再排了。所以，该包装箱用此方法最多能装22瓶。最后证明，此方法的排放数量不如前一方法多。三、拓展探究现在我们已经学习将题

8、目与现实生活相联系。然而，在学习数学的过程中，不能只屈于现状，必须要学会进行探究延伸。那么，接下来，我们就要研究一下不同形状的包装箱是否能装入更多的瓶装饮料呢？1、首先是探究周长相同的底面为正方形、正六边形、正八边形、圆形能放多少个饮料瓶？底面为正方形时个底面为正六边形：摆法1：由里向外，