线性代数-第二章矩阵与向量2.3向量组的线性相关性

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1、第二章矩阵与向量§2.3向量组的线性相关性一、线性相关性的概念二、线性相关性的判定三、向量组的等价四、向量组的最大无关组五、向量空间的基与向量的坐标六、小结第二章矩阵与向量一、线性相关与线性无关的概念在向量线性相关的基础上,本节来讨论向量之间的关系.定义2.3.1对于向量1,2,…,m和，若存在m个数1,2,…,m，使得：=11+22+…+mm则称是1,2,…,m的线性组合，1,2,…,m称为组合系数,或称向量能用向量组1,2,…,m线性表示.显然，零向量是任何一组向量的

2、线性组合.第二章矩阵与向量例1设n维向量(1,0,,0)1(0,1,,0)2(0,0,,1)n(,aa,,a)是任意一个n维向量，由于12naaa1122nn所以是,,,的线性组合.12n通常称,,,为n维单位坐标向量组.12n同维数的向量所组成的集合称为向量组.第二章矩阵与向量例2证明向量(0,4,2)是向量(1,2,3)，1(2,3,1)，(3,1,2)的线性组合，并将23用,,线性表示.123解：先假定

3、，即112233(0,4,2)(1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)123(23,23,32)123123123因此230,123234,123322.123第二章矩阵与向量由于该线性方程组的系数行列式123231180,312由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出1,1,1123于是可表示为123第二章矩阵与向量一般地，与1,2,…,m必为且仅为一下三种情形之一：10可由1

4、,2,…,m的线性表示，且表达式唯一；20可由1,2,…,m的线性表示，但表达式不唯一；30不能由1,2,…,m的线性表示.对于n元线性方程组(2-8)若以j表示其中第j个未知量的系数构成的m维列向量，即a1ja2jjn1,2,,jamj第二章矩阵与向量且令b1b2bm那么，方程组(2-8)可以表示为xxx1122nn于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向量能否由向量1,2,…,m线性表示.当能由

5、向量1,2,…,m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8)有解且解唯一.第二章矩阵与向量定义2.3.2设n维向量组1,2,…,m，如果存在不全为0的m个数k1，k2，…，km，使得k11+k22+…+kmm=0则称向量组1,2,…,m线性相关,否则称它们线性无关.注：1,2,…,m线性无关,就是k11+k22+…+kmm=0k1=k2=…=km=0第二章矩阵与向量根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:(1)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是=0;(2)如果向量组1,2

6、,…,m中有某两个向量i=j(i≠j)，那么向量组1,2,…,m线性相关;(3)含有零向量的向量组必线性相关.在一个向量组1,2,…,m中，任取若干个向量组成的向量组，叫做1,2,…,m的部分向量组，简称部分组.(4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分组也是线性无关的.第二章矩阵与向量例3讨论n维向量，,,的线性相关性.12n解：设n个数kk,,,k,使得12nkkk01122nn即(,kk,,k)(0,0,

7、,0)成立，12n则必有k0,k0,,k0，12n所以,,,线性无关.12n第二章矩阵与向量例4已知向量组,,线性无关，123112，，试证,,线性无关.232331123证:设有kkk,,使123kkk0112233即k（）k()k()0,112223331亦即（kk)(kk)(kk)0,131122233因，，线性无关，故有123kk0,13kk0,12kk0.23第二章矩阵与向

8、量由于此方程组的系数行列式10111020011故方程组只有零解kkk0，所以向量组123,,线性无关.123例5设r维向量组(a,a,,a),i1,2,,mii12iir及r1维向量组(a,a,,aa,),i1,2,,.mii1i2irir,1即是由加一个分量而得.若