《混沌动力学》PPT课件

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1、高等工程地质学山东大学山东大学研究生专业基础课2011年9月主讲教师：薛翊国第二十二章混沌动力学混沌动力学(chaoticdynamics)“混沌”一词译自英文“Chaos”，意为“混沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。“混沌”一词自古以来，国内外的书籍中就早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。1963年Lorenz在其论文《确定性非周期流》中提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克（Yoke）在1975年的论文“周期3

2、则混沌”是首次引用Chaos一词。3.1引言1973年4月的一天，在美国马里兰大学数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地走进导师约克教授的办公室，此时李的博士论文正处于胶着阶段，一时未有进展。约克给了李一个区间迭代问题，李却开玩笑地说这个问题的解决足以送到美国《数学月刊》上发表。3.1.1“混沌”的来历两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。如果从x=x0开始按照公式迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小于n时都不回到原来地方，则x0就叫f(x)的一个n周期点。李证明，如果区间到区间自身的函数f(

3、x)连续，且有一个3周期点，那么，对于任何正整数n，f(x)有n周期点。(周期3则混沌)李和约克把这项研究成果写成论文真的寄到《数学月刊》去了，但很快论文便被退回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。过了一年(1974)，约克教授在一次会议上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛，他立即想到这个区间迭代问题。其实，李—约克关于有3周期点则有一切周期点的定理只是苏联一位不知名学者的沙可夫斯基定理的一个特例。沙可夫斯基定理：设f(

4、x)是区间到区间自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点的话，则它一定也有n周期点。3.1.2“混沌”现象一、气候中的“蝴蝶效应”混沌现象首先是1963年被美国气象学家Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz的意料：舍去与没有舍去的模型的结果

5、竞然大相径庭，几乎变得完全认不出来了。为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例子——Lorenz模型。Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明：短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可能的。“蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风。二、雷诺实验在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌现象便是湍流。雷诺（R

6、eynold）实验:在一个可控制流速的园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一丝有色液体，以便观察流体的运动状况。(1)当管中液体流速不大时，有色液体的流动顺直光滑，层次分明→层流。(2)当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将发生规则地振荡→湍流（紊流）。ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径三、Benard对流实验混沌是一个相当难以精确定义的概念。①对初值的敏感依赖性②确定的随机性，由确定性规律决定的系统可以有效地表现出随机行为。确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生

7、，即过程是严格确定性的。随机性：指不规则的，不能预测的行为。3.1.3混沌的定义混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然的行为的方法。确定性的方程可以产生随机行为。湍流：Navier-stokes方程Logistic映射：Lorenz模型：3.2混沌产生的数学模型对于确定性系统中的随机性，即混沌现象，也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现象的本质。对初始条件的敏感依赖性，是混沌现

8、象的一大特征，也是造成混沌的原因。讨论一维映射：3.2.1贝诺勒变换模型111/2xnxn-1xn=xn-1从表面上看，序列似乎有三种形态：（1）当是有理数，且用分数表示时,其分母为2的（k是正整数）时，此时。幂数例如：（2）当不是2的幂数时，则序列为周期解。是有理数，且用分数表示。其分母例如：…大于一定的数后将在三个数即之间循环（3）当是无理数时，则序列既不趋向于零，也不趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。为例，迭代下去有，但若一个以初值和前900多位小数都相同，