2019年高考数学复习三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数学案文北师大版

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1、第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真]　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(对应学生用书第39页)[基础知识填充]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读

3、作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式角α的弧度数公式

4、α

5、＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝°弧长公式弧长l＝

6、α

7、r扇形面积公式S＝lr＝

8、α

9、r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosα叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[知识拓展]1．

10、三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．(　　)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．(　　)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3

11、)√　(4)√2．(2017·西宁复习检测(一))若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限为(　　)A．第一象限　　　　B．第二象限C．第三象限D．第四象限D　[由cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ＜0得sinθ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D．]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M，则sinα＝(　　)【导学号：00090079】A．B．±C．D．±B　[由题意知

12、r

13、2＝2＋y2＝1，所以y＝±.由三角函数定义知sinα＝y＝±.]4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)A．1

14、0πB．9πC．πD．πD　[单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝π，由弧长公式得l＝π.]5．终边在射线y＝－x(x＜0)上的角的集合是________．　[终边在射线y＝－x(x＜0)上的一个角为π，从而所求角的集合为](对应学生用书第40页)角的有关概念及其集合表示　(1)若角α是第二象限角，则是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图311所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．图311(1)C　(2)2kπ＋，2

15、kπ＋π(k∈Z)　[(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．综上，是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为(k∈Z)．][规律方法]　1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论．[变式训练1]　(1)终

16、边在直线y＝－x上的角的集合是(　　)【导学号：00090080】A．B．C．D．(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.(1)D　(2)－675°或－315°　[(1)在(0，π)内终边在直线y＝－x上的角为，所以终边在直线y＝－x上的角的集合为.(2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]扇形的弧长、面积公式　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心

17、角分别取何值时，扇形的面积最大？[解]　(1)设圆心角是θ，半径是r，则解得(舍去)或∴扇形的圆心角为.(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100