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1、第六章第六章常微分方程第十二章第一节第一节微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义机动目录上页下页返回结束一、问题的提出一、问题的提出例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程。解设所求曲线为y=y(x)dy则=2x其中x=1时,y=2dx2∴y=∫2xdx即y=x+C,求得C=,12所求曲线方程为y=x+.1机动目录上页下页返回结束例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶，当制2动时列车获得加速度−4.0米/秒，问开始制动后多少时
2、间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解设制动后t秒钟行驶s米,s=s(t)2dsdsds2=−,4.0t=0时,s=,0v==20,v==−4.0t+C1dtdtdt2s=−2.0t+C1t+C2代入条件后知C1=20,C2=0ds2v==−4.0t+20,故s=−2.0t+20t,dt20开始制动到列车完全停住共需t==50(秒),4.0列车在这段时间内行驶了2s=−2.0×50+20×50=500(米).机动目录上页下页返回结束二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程：凡含
3、有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。未知函数是一元函数的微分方程也叫常微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。x例y′=xy,y′′+2y′−3y=e,2(t+x)dt+xdx=,0实质:联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.机动目录上页下页返回结束代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.这样的解称为微分方程的通解。用来确定任意常数的条件叫做初始条件.由初始
4、条件确定了通解中任意常数的值后得到的解叫做特解.微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，特解的图形是积分曲线族中某一特定曲线.机动目录上页下页返回结束求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题或柯西问题.⎧y′=f(x,y)一阶:⎨过定点的积分曲线;y=y⎩x=x00⎧y′′=f(x,y,y′)二阶:⎨y=y,y′=y′⎩x=x00x=x00过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.机动目录上页下页返回结束一般地，n阶微分方程(n)F(x,y,y′,L,y)=0的通解
5、为y=y(x,c,c,L,c)12n其中cc,Lc是n个独立的任意常数。,12n如果给出了n个初始条件(n−)1y(x)=y,y′(x)=y,L,y(x)=y00010n−1这里x,y,y,Ly是已知常数，就能确定任意常数001n−1cc,Lc的值，从而求出一个特解。,12n机动目录上页下页返回结束例3验证:函数x=Ccoskt+Csinkt是微分方程122dx2+kx=0的解.并求满足初始条件2dtdxx=A,=0的特解。t=0dtt=0dx解Q=−kCsinkt+kCcoskt,12dt2dx
6、22=−kCcoskt−kCsinkt,212dt2dx将和x的表达式代入原方程,2dt机动目录上页下页返回结束22−k(Ccoskt+Csinkt)+k(Ccoskt+Csinkt)≡.01212故x=Ccoskt+Csinkt是原方程的解.12dxQxt=0=A,=,0∴C1=A,C2=.0dtt=0所求特解为x=Acoskt.机动目录上页下页返回结束例4.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q且线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程.解:如图所示,点P(x,y)处的法线方程为1Y−y
7、=−(X−x)Yy′P令Y=0,得Q点的横坐标X=x+yy′QoxX∴x+yy′=−x,即yy′+2x=0第二节目录上页下页返回结束三、小结三、小结本节基本概念：微分方程；微分方程的阶；微分方程的解——通解;特解；初值问题——初始条件；积分曲线．机动目录上页下页返回结束作业作业习题5-1(P353)2(3)；3(3)；机动目录上页下页返回结束思考题2x函数y=3e是微分方程y′′−4y=0的什么解?思考题解答2x2xQy′=6e,y′′=12e,2x2xy′′−4y=12e−4⋅3e=,02xQy
8、=3e中不含任意常数,故为微分方程的特解.机动目录上页下页返回结束
