14.1微分方程的基本概念

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1、微分方程第14章—积分问题—微分方程问题推广微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第七章首先我们通过几个实例说明什么是微分方程，及有关概念例1：曲线上任意一点处的切线斜率等于该点的横坐标的平方，且曲线过原点，求曲线的方程。解.设曲线方程为（未知函数）已知：微分方程一阶方程初始条件求积分：通解将x=0,y=0代入通解，得：C=0所求曲线方程为：特解微分方程是通过积分来求解。引例2.列车在平直路上以的速度行驶,获得加速度问开始制动后多少时间列车解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知即求s=s(t).制动时才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？求已知积分：再积分：通解代

2、入条件后知故开始制动到列车完全停住共需通解微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程现在，我们给出微分方程的定义，以及有关概念。分类常微分方程偏微分方程(本章内容)方程的阶：方程中未知函数的最高阶导数的阶数一阶二阶五阶(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是或方程的解：满足微分方程的函数例如是方程的解是方程的解方程的通解：n阶微分方程的含有n个独立任意常数的解例如是方程的通解是方程的通解即常数不能合并而使得任意常数的个数减少方程的特解：没有任意常数的解例如是方程的特解是方程的特解通解中的任意常数可由初始条件确定：通解的几何意义：积分曲线在横坐标相同的点处，各积分曲线有平行的切线积分曲线

3、彼此“平行”，两两不相交微分方程的通解代表一族曲线，称为方程的积分曲线特解：积分曲线两两不相交经过原点只有唯一的积分曲线积分曲线微分方程的初值问题：一阶微分方程的初值问题：曲线过点（）二阶微分方程的初值问题：曲线过点（）曲线在点（）处的斜率为解所求特解为验证：是方程解：隐函数求导：原方程是原方程方程的通解为隐式解的通解例4微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;二、小结思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.作业复习上学期的内容练习题练习题答案