线段和差最值的存在性问题解题策略

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1、中考数学压轴题解题策略线段和差最值的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1).三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′.解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更

2、方便,本讲不涉及函数最值问题.图1图2图3例题解析例❶如图1-1,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上的一个动点,如果△PAC的周长最小,求点P的坐标.图1-1【解析】如图1-2,把抛物线的对称轴当作河流,点A与点B对称,连结BC,那么在△PBC中,PB+PC总是大于BC的.如图1-3,当点P落在BC上时,PB+PC最小,因此PA+PC最小,△PAC的周长也最小.由y=x2-2x-3,可知OB=OC=3,OD=1.所以DB=DP=2,因此P(1,-2).图1-2图1-3例❷如图,抛物线与

3、y轴交于点A,B是OA的中点.一个动点G从点B出发,先经过x轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A.如果动点G走过的路程最短,请找出点M、N的位置,并求最短路程.图2-1【解析】如图2-2,按照“台球两次碰壁”的模型,作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′,作点B关于x轴对称的点B′,连结A′B′与x轴交于点M,与抛物线的对称轴交于点N.在Rt△AA′B′中,AA′=8,AB′=6,所以A′B′=10,即点G走过的最短路程为10.根据相似比可以计算得到OM=,MH=,NH=1.所以M(,0),N(4,1).图2-2例❸

4、如图3-1,抛物线与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上的一个动点,求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值,并求出相应的点P的坐标.图3-1【解析】题目读起来像绕口令,其实就是求

5、PA-PB

6、的最小值与最大值.由抛物线的解析式可以得到A(0,2),B(3,6).设P(x,0).绝对值

7、PA-PB

8、的最小值当然是0了,此时PA=PB,点P在AB的垂直平分线上(如图3-2).解方程x2+22=(x-3)2+62,得.此时P.在△PAB中,根据两边之差小于第三边,那么

9、PA-PB

10、总是小于AB了.如图3-3,当点P

11、在BA的延长线上时,

12、PA-PB

13、取得最大值,最大值AB=5.此时P.图3-2图3-3例❹如图4-1,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点,求PK+QK的最小值.图4-1【解析】如图4-2,点Q关于直线BD的对称点为Q′,在△KPQ′中,PK+QK总是大于PQ′的.如图4-3,当点K落在PQ′上时,PK+QK的最小值为PQ′.如图4-4,PQ′的最小值为Q′H,Q′H就是菱形ABCD的高,Q′H=.这道题目应用了两个典型的最值结论:两点之间,线段最短;垂线段最短.图4-2图4-

14、3图4-4例❺如图5-1,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点,求PE+PF的最小值.图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定,怎么办?BE=1,AF=2是确定的,那么我们可以求PB+PA-3的最小值,先求PB+PA的最小值(如图5-2).如图5-3,PB+PA的最小值为AB′,AB′=6.所以PE+PF的最小值等于3.图5-2图5-3例❻如图6-1,已知A(0,2)、B(6,4)、E(a,0)、F(a+1,0),求a为何值时,四边形ABEF周长最小?请说明

15、理由.图6-1【解析】在四边形ABEF中,AB、EF为定值,求AE+BF的最小值,先把这两条线段经过平移,使得两条线段有公共端点.如图6-2,将线段BF向左平移两个单位,得到线段ME.如图6-3,作点A关于x轴的对称点A′,MA′与x轴的交点E,满足AE+ME最小.由△A′OE∽△BHF,得.解方程,得.图6-2图6-3例❼如图7-1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1.点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上,当点A在x轴上运动时,点C也随之在y轴上运动.在整个运动过程中,求点B到原点的最大距离.图7-1【解析】如果把OB

16、放在某一个三角形中,这个三角形的另外两条边的大小是确定的,那么根据两边之和大于第三边,可知第三边OB的最大值就是另两边的和.显然△OBC是不符合条件的,因为OC边的大小不确定.如图7-2,如果选AC的中点D,那么BD、OD都是定值,O

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