数学预备知识 微积分初步

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1、力学数学预备知识A微积分初步本部分内容可参阅赵凯华、罗蔚茵，《新概念物理教程力学》“附录A微积分初步”，高教社，2004年7月第2版漆安慎、杜婵英，《普通物理教程力学》“附录数学知识”，高教社，2005年6月第2版2021/10/7函数变量和常量或有两个变量和，如果每当变量取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定的对应值，则称是的函数，记作为自变量，为因变量，为函数记号。例如绝对常量：在一切问题中数值都是确定不变的量，如任意常量：数值需要在具体问题中具体给定的量，如Page2函数的图形在物理学中经常用二（三）维曲线来表示两（三）个变量之间的函数关系，以直观地了解一个函数的特征。Pa

2、ge3物理学中函数的实例匀速直线运动公式匀加速直线运动公式每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系Page4物理学中函数的实例玻意耳定律点电荷的电场Page5极限无穷小量的性质限个无穷小量的和是无穷小量；有限量与无穷小量的积是无穷小量。在自变量与某一定值的差为无穷小量时，函数与数的差也为无穷小量，则是在趋于时的极限。Page6例如一个有限的函数与常数积的极限，等于该函数极限与常数之积有限个极限的函数的积（商）的极限，等于它们的极限的积（商）有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差）极限的运算法则Page7物理学中的几个实例直线运动的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为

3、则从时刻到时刻间的平均速度为例如：匀加速直线运动Page8例如：匀加速直线运动在时刻的瞬时速度应为时平均速度的极限Page9水渠的坡度设各处渠底的高度为则从到两地水渠的平均坡度为在点的坡度应为时平均坡度的极限，即Page10函数的变化率——导数设函数的自变量在点处有增量相应地函数有增量则定义函数在到区间内的平均变化率为Page11导数若当时的极限存在，则称在处可导，该极限值称为函数对的导数或微商，记作导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。导数还可以表示为Page12函数的导数本身也是的一个函数，因此我们可以再取它对的导数，称为函数的二阶导数，记作在物理学中，对空间

4、和时间的导数习惯如下表示，不能混用表示对空间求导表示对时间求导Page13导数的几何意义如图，过曲线上两点、的割线的斜率为当时，割线成为过点的切线故导数表示曲线在处切线的斜率。Page14基本函数的导数公式Page15Page16Page17Page18有关导数运算的几个定理Page19基本导数公式……Page20微分自变量无限小的增量称为的微分为函数的微分。微分是对函数的局部变化率的一种线性描述几何意义Page21泰勒级数将函数展开为幂级数的形式，在理论上和应用中都是十分重要的。在处的阶导数泰勒展开式Page22常见函数的幂级数展开式Page23常见函数的幂级数展开式Page24几

5、个物理中的实例变速直线运动的路程物体的速率是时间的函数把到这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，每段可以近似地看成匀速运动，则有Page25越短，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况，故应对求和取时的极限，即几何意义到区间内曲线下的面积Page26变力的功考虑力是位置的函数，即物体由运动到的过程中，力对它所做的功为Page27要精确求解，就需要对求和取时的极限，即几何意义到区间内曲线下的面积Page28定积分给定一个函数，用把自变量在区间内的数值分成小段，设每小段的大小为，若当时的极限存在，则将该极限称为函数在区间内对的定积分，记作Page29定积分的几何意义曲边梯形

6、面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和Page30如果被积函数是某个函数的导数，即则在到区间内对的定积分等于在这区间内的增量，即Page31不定积分原函数如果是的导数，则称是的逆导数或原函数求的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。Page32不定积分一般说来，在函数的某个逆导数上加一任意常量，仍旧是的逆导数。通常把一个函数的逆导数的通式称为它的不定积分，并记作，即不定积分代表一组函数。Page33几个有关积分运算的定理定理一如果(是常量)，则定理二如果，则定理三如果，则Page34常用函数的不定积分……Page35本章结束TheEnd！2021/10/7