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1、《向量数量积的坐标运算与度量公式》习题1、设分别是直角坐标系轴，轴方向上的单位向量，若在同一直线是有三点A、B、C且。求实数的值2、已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为可值时：（1）ka+b与a-3b垂直；（2）ka+b与a-3b平行，平行时它们是同向还是反向？3、设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。4、以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B的坐标和。5、已知两个向量a和b，求证：
2、a+b
3、=
4、a-b
5、的充要条件是a
6、⊥b。6、（本小题满分12分）若，试求的夹角的的余弦值。7、设，是两个垂直的单位向量，且，．（1）若∥，求的值；（2）若⊥，求的值．8、已知向量，，且．若的最小值是，求的值．12分9、已知△ABC的顶点坐标为A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在边AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分．10、已知
7、
8、＝1，
9、
10、＝，①若∥，求·；②若、的夹角为60°，求
11、＋
12、。11．(本题满分12分）已知向量=3i－4j，=6i－3j，=（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分别是直
13、角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120º．（1）求证(a－b)⊥c；（2）若│ka＋b＋c│>1(k∈R)，求k的取值范围．13．已知向量a、b、c、d，及实数x、y，且
14、a
15、=1，
16、b
17、=1，c=a＋（x2－3）b，d=－ya＋xb，如果a⊥b，c⊥d，且
18、c
19、≤．（1）求x、y的函数关系式y=f（x）及定义域；（2）（供部分考生选做）判
20、断f（x）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．14、（8分）已知ABCD的顶点A（0，-9），B（2，6），C（4，5），求第四个顶点D的坐标．15、（14分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE、BF交点。若=，=，试以，为基底表示、、．16.（14分）已知=(1,2),,当k为何值时，（1）k+与-3垂直？（2）k+与-3平行？平行时它们是同向还是反向？17、（14分）求与向量=（1，2），=（2，1）夹角相等的单位向量的坐标．18、设平面三点A（1，0），B（0，1），C（
21、2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．19、如图，已知＝＝，＝，且
22、
23、＝
24、
25、．（1）用，表示，，；（2）求·．20、已知平面向量＝（7，9），若向量、满足2＋＝，⊥，
26、
27、＝
28、
29、，求、的坐标．21、已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝．延长AP交BC于点D，若＝，＝，用、表示向量、参考答案：1、解：∵∴①…∵A、B、C三点在同一直线上∴存在唯一的实数使得………∴……消去得到…………②…由①得到，代入②解得或2、[解]（1）k·a+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10
30、,-4)。当(ka+b)·(a-3b)=0时，这两个向量垂直，∴由10(k-3)+(2k+2)×（-4）=0……得k=19。（2）当ka+b与a-3b平行，存在惟一的实数λ，使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得解得此时-a+b与a-3b反向。3、[解]∵a=2e1+e2,∴
31、a
32、2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴
33、a
34、=。同理得
35、b
36、=。又a·b==（2e1+e2）·(-3e1+2e2,)=-6e12+e1·e2+2e22=-，∴cosθ===-,∴θ=12
37、0°.4、[解]如图8，设B(x,y),则=(x,y),=(x-4,y-2)。∵∠B=90°，∴⊥，∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。①设OA的中点为C，则C(2,1),=（2，1），=(x-2,y-1)∵△ABO为等腰直角三角形，∴⊥，∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。②解得①、②得或∴B(1,3)或B(3,-1)，从而=(-3,1)或=（-1,-3）5、[证明]如图9，=a,=b。（1）充分性：若⊥，OBCA为矩形，则
38、a+b
39、=
40、
41、,
42、a-b
43、=
44、
45、∵OBCA为矩形，∴
46、
47、=
48、
49、，即
50、
51、a+b
52、=
53、a-b
54、（2）必要性：∵
55、a+b
56、=
57、
58、,
59、a-b
60、=,且
61、a+b
62、=
63、a-b
64、,∴
65、
66、=
67、
68、,∴平行四边形OBCA为矩形，∴a⊥b，即a的方向与b的方向垂直。6、解：由，得即（4分），（8分），又，所以的夹角的的余弦值为。（12分）7、∴解得：m=-2，6分（2）∵⊥，∴·
