《高斯消元法》课件1

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1、第7章解线性方程组的直接法§1引言常见的两种方程组（按系数矩阵的阶n）：1、低阶稠密矩阵：2、高阶稀疏矩阵（大型稀疏矩阵）直接法间接法或称迭代法直接法：计算过程中没有舍入误差，经过有限步算术运算可有效方法：选主元消去法解法：求得方程组的精确解。三角分解法解法：实际中有舍入误差§7.2高斯消去法解：（古老或古典方法）基本思想方法：例3用消去法解方程组由行初等变换将系数矩阵约化为上三角矩阵；用回代的方法求解方程组。（1）消元：（2）回代求解，得m个方程，n个未知数的线性方程组的高斯消去法：若记（1）第1步(k=1)，计算公式为：（m-1)(n

2、-1)次乘法运算高斯消去法：设，计算乘数(m-1)次除法运算对增广矩阵施行行初等变换：（m-1)次乘法运算记为（2）第k步（）设已完成上述消元过程第1步，第2步，…，第k-1步，（设）得到与原方程组等价的方程组其中元素计算公式为：计算乘数第k步计算：对施行行初等变换,使第k列以下元素约化为零，与前k行元素相同，左上角阶阵为上三角阵。（m-k)次乘法运算（m-k）次除法运算（m-k)(n-k)次乘法运算即，得到与原方程组等价的方程组（3）继续上述约化过程，（i）当m>n时，s=n，且设，则（ii）当m=n时，s=n-1,且设，则直到完成第S

3、步计算，得到与原方程组等价的方程组其中为上梯形，具有以下三种情况：(iii)当m

4、素（即），然后进行消元计算。于是，且右下角矩阵为n-1阶时，可采用上述方法同样处理。非奇异矩阵。当时，直接进行消元计算,当（用高斯变换约化）结论：定理6则存在初等下三角阵,使(上梯形).(1)如果，则通过高斯消去法（不进行定理7交换两行的初等变换）将化为等价的三角方程组。回代计算：消元计算：（2）如果A为非奇异矩阵，则可通过带行交换的高斯消去Ganss消去法中注：则要求在算法中增加一判断框，并要交换两行元素（或者说交换两个方程）。法，将化为等价的三角形方程组（3.12）。计算量：回代计算量：消元计算量(k=1,2,…,n-1)：除法：乘除

5、法：乘法：定理8（2）若反之亦对。（1）若顺序主子式，则（必要性）证明：用归纳法证明。当时，显然成立，假设对时成立，即,下证对k成立，即由归纳法假设再由Ganss消去法，得是否是零，可以根据顺序主子式来判断。反之，若即定理对k亦成立。由Ganss消去法知(3.13)成立，则（2）若于是,对k=1,2,…,n时，(3.13)成理解高斯消去法并会用该方法解方程组。本节重点：立，则§3高斯消去法（古老或古典方法）高斯消去法：第k步（）设已完成上述消元过程第1步，第2步，…，第k-1步，（设）得到与原方程组等价的方程组其中元素计算公式为：计算乘数

6、第k步计算：对施行行初等变换,使第k列以下元素约化为零，（m-k)次乘法运算（m-k）次除法运算（m-k)(n-k)次乘法运算即，得到与原方程组等价的方程组说明：(1)上述约化过程，可用矩阵变换来叙述，因由约化到,实际上是由乘数构成初与相乘得到，即等下三角阵或