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1、3.1.4-5空间向量的正交分解及其坐标运算空间直角坐标系.向量的直角坐标表示及运算.一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量,且设为空间两两垂直的向量，xyzOkijQ由平面向量基本定理有使得：二、空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在有序实数组三、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来i,j,k表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k。以点O为原点，
2、分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。在空间直角坐标系O–xyz中，对空间任一点A,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使在单位正交基底中与向量对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)ijk
3、四、空间向量的坐标表示1、已知空间四边形OABC中，简例:（课本例1）M,N分别是OA,BC的中点,P,Q是MN的三等分点.用向量MNPQ（空间向量基本定理的应用）完成课本练习五、空间向量运算的坐标表示.设则设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关
4、系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。1例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D中,B1E1=D1F1=A1B14,求BE1与DF1所成角的余弦值.例1已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a,ab六、例题分析：例2如图，在正方体 中，解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系 ，则，求 与 所成的角的余弦值。例2如图，在正方体 中，，求 与 所成的角的余弦值。
5、YXZABCDEF练习:在正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE七、作业：课本P107页习题3.1:7,8,9题
