2.1.1　直线的斜率

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1、高中数学必修22.1.1直线的斜率情境创设现实世界中，到处有美妙的曲线．从飞逝的流星到雨后彩虹，从古代的石拱桥到现代的立交桥……这些曲线都和方程息息相关．情境问题问题1．如何将这些曲线与方程联系起来呢？引进平面直角坐标系，用有序数对(x，y)表示平面内的点．根据曲线的几何性质，可以得到关于x，y的一个代数方程f(x，y)＝0．反过来，把代数方程f(x，y)＝0的解(x，y)看做平面上点的坐标，这些点的集合是一条曲线．解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应

2、关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题．解析几何的基本思想是数形结合．情境问题问题2．解析几何与几何的本质区别是什么呢？本章研究的基本几何图形——直线与圆本章研究的基本问题：1．如何建立它们的方程？2．如何通过方程来研究它们的性质？——位置关系（平行、相交、…）本节课研究的问题：1．如何确定直线？2．如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？——两个要素（两点、点与方向）如图，O是入山口，E是出山口，半山腰A(相对于O)的高度为100米，B(相对于O)的高度为250米，OA与AB的水平距离都

3、为300米，试比较OA、AB两段山坡爬坡的难易程度．情境问题OABCDEA1B1100250300300F问题：如何用一个量来描述、刻画山坡的陡峭程度？FAB“坡度”就是坡面的竖直高度与水平宽度的比，如上图，山坡AB的坡度即为用坡度来刻画直线的倾斜程度.OABA1B1100250300300Fxy如图，建立直角坐标系，则O(0，0)，A(300，100)，B(600，250)直线OA的斜率k＝直线AB的斜率k＝数学建构直线AB的斜率k＝A(x1，y1)OxyB(x2，y2)yA(x1，y1)OxB(x2，y2)(x1

4、≠x2)数学建构斜率k＝的几点说明：3.直线AB的斜率与所选择直线上两点的位置无关．定直线的斜率是确定的．OA(x1,y1)xB(x2,y2)y2.直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关.xA(x1,y1)OyB(x2,y2)A1B1FF11．x1≠x2，若x1＝x2，即直线垂直于x轴，此时，斜率不存在.数学建构例1如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又分别过点Q1(－2，－1)、Q2(2，6)，Q3(－3，2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率.xyOl1PQ1l2Q2Q3l3解：设k1、k2、k3分别表

5、示直线l1、l2、l3的斜率，则k2＝－4，k3＝0，(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(l1)；由图可以看出(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(l2)；(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合(l3)．反之也成立.数学应用解：故A，B，C三点共线.已知三点A(－1，4)、B(2，1)、C(－2，5)，判断这三点是否共线？数学应用变式：若三点A(4，5)，B(－2a，－3)，C(1，a)共线，则a＝________.例2经过点P(3，2)画直线，且使直线的斜率分别为：(1)(2)

6、l1l2解：（1）直线l1即为所求.（2）直线l2即为所求.xyOQP数学应用①与x轴相交的直线；②绕交点按逆时针方向旋转；③最小正角；④规定：与x轴平行或重合的直线倾斜角为0；⑤{｜0≤＜180}．直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系．任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率．数学建构直线的倾斜角①与x轴垂直的直线斜率不存在，倾斜角为900；②一条与x轴不垂直的定直线斜率为定值；③当倾斜角为锐角时，k＝tan．xOyxOy数

7、学建构直线的倾斜角与斜率的关系：④当倾斜角为钝角时，tan＝－tan(180－)；⑤＝0时，k＝0；0＜＜90时，k＞0，且k随着的增大而增大；＝90时，k不存在；90＜＜180时，k＜0，且k随着的增大而增大．例3根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线，并写出倾斜角：数学应用（1）P(1，2)，k＝1；（2）P(－1，3)，k＝0；（3）P(0，－2)，k＝；（4）P(1，2)，斜率不存在．作业：P80练习1，2，3，4，5，6．