1.3.1辗转相除法(欧几里得算法)

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1、1.3算法案例——辗转相除法（欧几里得算法）与更相减损术35915[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？〖创设情景，揭示课题〗183023∴18和30的最大公约数是2×3=6.先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.17练习1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数2、求204与85的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为72求两个

2、正数a=204和b=85的最大公约数。分析：204与85两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数204＝85×2＋34显然204的最大公约数也必是85的约数，同样204与85的公约数也必是34的约数，所以204与85的最大公约数也是85与34的最大公约数。85＝34×2＋1734＝17×2+0则17为204与85的最大公约数。这就是辗转相除法辗转相除法（欧几里得算法）用辗转相除法求8251和6105的最大公约数第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：

3、8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。为什么呢？思考：从上述的过程你体会到了什么？完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225

4、=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.20723=4081×5+318;4081=318×12+265;318=265×1+53;265=53×5+0.(53)利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0)第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r

5、0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1)第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2)……依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1即为所求的最大公约数。思考1：从上面的步骤中可以得出辗转相除法算法步骤为：S1：给定两个正整数m,nS2：用大数除以小数，计算m除以n所得的余数；S3：除数变成被除数，余数变成除数，即m=n,n=rS4：重复S2,直到余数为0，即若r=0，则m,n的最大公约数为m，否则返回S2辗

6、转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？r=mMODnm=nn=rr=0?是否开始输入两个正数m,n输出m,n结束INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND思考:你能用当型循环结构构

7、造算法，求两个正整数的最大公约数吗?写出算法步骤、程序框图和程序。输入两个正数m,n否开始r=mMODnr≠0?输出n结束m=nn=r是INPUTm,nr=mMODnWHILEr<>0m=nn=rr=mMODnWENDPRINTnEND《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等

8、为止，则这个等数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。例3用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，