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1、马尔可夫链分析法马尔可夫链马尔可夫链：一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关。这种性质称为无后效性。形象示意：青蛙在若干荷叶上跳跃,下一位置仅与当前位置有关。状态概率向量：设马尔可夫链在tK时取状态E1E2…En的概率分别为p1p2…pn而0≤Pi≤1，则向量［P1P2…Pn］称为tK时的状态概率向量。一步转移概率：设系统可能出现N个状态E1E2…En，则系统由tK时刻从Ei转移到tk+1时刻Ej状态的概率就称为从i到j的转移概率.状态转移概率矩阵状态转移概
2、率矩阵：在一定条件下，系统只能在可能出现的状态E1E2…En中转移，系统在所有状态之间转移的可能性用矩阵P表示，称P为状态转移概率矩阵。转移概率矩阵具有下述性质:正规概率矩阵及性质概率向量：元素均为非负数且总和为1的向量。概率矩阵：方阵的各行(或各列)都是概率向量。概率阵性质：若A、B是概率阵，则AB、An也是。固定概率向量(均衡点)：若U是n维概率向量,A是n阶方阵，且有UA=U，则称U是A的均衡点。正规概率矩阵：对概率阵P，若存在某个正整数m,使得Pm所有元素大于零,则称P为正规概率矩阵。正规
3、概率阵P的性质：多步转移多步转移概率:若系统在时刻t0处于状态i,经过n步转移，在时刻tn处于状态j，这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率,记为性质1:设一步转移概率矩阵为P(1)=P则P(n)=Pn。性质2：系统处在j状态的概率与它在很远的过去处在什么情况无关。市场占有率预测示例之一—内容已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.30.40.3)，且已知转移概率矩阵为P。试求本月份和下月份的市场占有率？解：1、求本月份市场占有率2、求下月份市场占有率计算结果说明，在
4、顾客(或用户)购买偏好改变不大情况下，下个月A牌洗衣粉市场占有率22.5%，B牌洗衣粉市场占有率为34.7%，C牌洗衣粉的市场占有率为42.8%。状态转移概率的估算估算方法一般有二种:一是主观概率法(缺乏历史统计资料或资料不全情况下使用)。二是统计估算法。[例]设味精市场的销售记录共有6年的24个季度的数据见表。试求味精销售状态转移概率矩阵。上表中共有24个季度数据，其中有15个季度畅销,9个季度滞销。经统计得出连续畅销7次、由畅销转为滞销7次、由滞销转为畅销7次和连续滞销2次。转移概率统计估算方
5、法对于一般的情况，假定系统有m种状态S1,S2,...,Sm，根据系统的状态转移的历史记录，得出各状态间转移次数得分类统计表格，由此估计状态i转移到状态j的转移概率pij。期望利润示例某品牌味精市场销售情况有畅销1、滞销2两状态。转移概率分别为p11=0.6,p12=0.4,p21=0.54,p22=0.46构成转移概率矩阵P；获利情况为r11=30,r12=10,r21=15,r22=-10构成利润矩阵R。预测三期后的期望利润。解：用Vi(n)表示在i状态下转移n期后的期望利润,可构成各状态转移
6、n期后期望利润列向量V(n),则：若当前畅销,则三期后期望利润为50.76,当前滞销,则三期后为31.08。期望利润预测公式有利润的马氏链:若状态i转入状态j的概率为pij,记P=(pij),同时产生利润rij,由rij构成的矩阵R=(rij)称利润矩阵。通常称转移概率矩阵和利润矩阵为带利润的马氏链。马尔可夫链的转移概率决定状态转移过程中利润值的概率分布。设Vi(k)表示状态i经k步转移后的期望向量,记V=(V1(k),V2(k),…,Vn(k))T，则期望利润示例的R程序P=matrix(c(0
7、.6,0.4,0.54,0.46),ncol=2,byrow=T);P#建概率阵R=matrix(c(30,10,15,-10),ncol=2,byrow=T);R#建利润矩阵v11=P[1,]%*%R[1,];v11#运算符%*%夹在向量间表示求内积v12=P[2,]%*%R[2,];v12V1=rbind(v11,v12);V1#计算出一期后的期望利润向量V1=matrix(diag(P%*%t(R)),ncol=1);V1#与上3句等效V2=V1+P%*%V1;V2#计算出二期后的期望利润向
8、量V3=V1+P%*%V2;V3#计算出三期后的期望利润向量期望利润预测步骤1.进行统计调查：首先查清销路的变化情况，即查清由畅销到滞销或由滞销到畅销，连续畅销或连续滞销的可能性是多少，计算P。其次，统计出由于销路的变化，获得的利润和亏损情况，计算R。2.建立数学模型。列出预测公式。3.根据预测公式和统计数据，按预测期长短进行预测。市场占有率预测调查目前市场上各产品占有率：S(0)=(S1,S2,…,Sn)调查顾客对各相关产品购买的变动：pij=P{Si->Sj}建立数学模型：S(
