反常积分的收敛判别法

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1、习题8.2反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中l=0或+∞时，+∞+∞∫ϕ(x)dx和∫f(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。aa解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在[,a+∞)上恒有0≤f(x)≤Kϕ(x)，其中K是正常数。则+∞+∞当∫ϕ(x)dx收敛时∫f(x)dx也收敛；aa+∞+∞当∫f(x)dx发散时∫ϕ(x)dx也发散。aa+∞证当∫ϕ(x)dx收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，aA′ε∀ε>0，∃A0≥a，∀A,A′

2、≥A0：∫Aϕ(x)dx<。K于是A′A′∫f(x)dx≤∫Kϕ(x)dx<ε，AA+∞所以∫f(x)dx也收敛；a+∞当∫f(x)dx发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，aA′∃ε0>0，∀A0≥a，∃A,A′≥A0：∫Af(x)dx≥Kε。于是A′A′1∫Aϕ(x)dx≥∫Af(x)dx≥ε0，K+∞所以∫ϕ(x)dx也发散。af(x)+∞（2）设在[,a+∞)上有f(x)≥0,ϕ(x)≥0，且lim=0。则当∫f(x)dxx→+∞ϕ(x)a+∞+∞+∞发散时，∫ϕ(x)dx也发散；但当∫f(x)d

3、x收敛时，∫ϕ(x)dx可能收敛，aaa278也可能发散。11f(x)例如f(x)=，ϕ(x)=(0

4、p>)，则lim=+∞。显然有xxp2x→+∞ϕ(x)+∞+∞1∫1f(x)dx发散，而对于∫1ϕ(x)dx，则当1时收2敛。⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在[,a+∞)⊂(,0+∞)上恒有fx()≥0，K是正常数。K+∞⑴若fx()≤p，且p>1，则∫f(x)dx收敛；xaK+∞⑵若fx()≥p，且p≤1，则∫f(x)dx发散。xa推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,a+∞)⊂+(,0∞)上恒有fx()≥0，且li

5、mxfp(x)=l，x→+∞则+∞⑴若0≤l<+∞，且p>1，则∫f(x)dx收敛；a279+∞⑵若0

6、sin

7、解（1）当x→+∞时，11～，3−2x3x−e+lnx+1x2+∞1所以

8、积分∫dx收敛。1xe32−+−xlnx+1（2）当x→+∞时，arctanxπ～，331+x2x+∞arctanx所以积分∫dx收敛。11+x3（3）因为当x≥0时有11≥，1+xsinx1+x+∞1+∞1而积分∫0dx发散，所以积分∫01+xx

9、sin

10、dx发散。1+x（4）当x→+∞时，qx1～，pp−q1+xx280xq+∞所以在p−q>1时，积分∫dx收敛，在其余情况下积分11+xpxq+∞∫dx发散。11+xp+∞+∞⒋证明：对非负函数fx()，(cpv)∫−∞fx()dx收敛与∫−∞fx()dx收

11、敛是等价的。+∞+∞证显然，由∫−∞fx()dx收敛可推出(cpv)∫−∞fx()dx收敛，现证明当+∞+∞f(x)≥0时可由(cpv)∫−∞fx()dx收敛推出∫−∞fx()dx收敛。+∞由于(cpv)∫fx()dx收敛，可知极限−∞AlimF(A)=lim∫f(x)dxA→+∞A→+∞−A存在而且有限，由Cauchy收敛原理，∀ε>0，∃A0>0，∀A,A′≥A0：F(A)−F(A')<ε，于是∀A,A′≥A0与∀B,B'≥A0，成立A′−B∫f(x)dx≤F(A)−F(A')<ε与∫f(x)dx≤F(B)

12、−F(B')<ε，A−B'+∞0+∞这说明积分∫0f(x)dx与∫−∞f(x)dx都收敛，所以积分∫−∞fx()dx收敛。⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：+∞lnlnx+∞sinx+⑴∫2lnxsinxdx;⑵∫1xpdx（p∈R）;+∞sinxarctanx++∞⑶∫dx（p∈R）;⑷∫sin(x2)dx;1xp0+∞p(x)msinxdx（p(x)