一次函数要点全析

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1、一次函数·要点全析1．正比例函数（proportionalfunction）一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．（1）由正比例函数的概念可知，y是x的正比例函数，可记作y＝kx（k≠0， k是常数）；类似地可以有，若y是x－3的正比例函数，则有y＝k（x－3）（k ≠0，k是常数）；同样有，若y＋3是x－3的正比例函数，则有y＋3＝k（x－3） （k≠0，k是常数）．反过来，若y＝kx2（k≠0，k是常数），则y是x2的正比例函数，而不是x的正比例函数，这一点请读者特别注意．再如y－3＝2x，可以看作y－3是x的正比例函数，而不能说成y是x

2、的正比例函数．（2）在正比例函数中，要特别注意比例系数k，k≠0并且k是一个常数，否则，便不是正比例函数了．（3）在正比例函数中，自变量x的取值范围是全体实数．但在一些实际问 题中，要根实际情况来确定，如正方形的周长y是边长x的正比例函数y＝4x， 而x的取值范围是x＞0；再如某单位给假期加班的x人，每人发30元补助费， 那么补助费总数y（元）与人数x之间的关系是正比例函数关系，即y＝30x，其 中x的取值范围是x取正整数．（4）在实际生活、生产、科技等领域，正比例函数关系随处都有．如圆的 周长m与半径R之间的关系，m＝2πR．练习本每本0.56元，买x本付y元钱的关系y＝0.56x．

3、 电子计算机每秒运算a亿次（a为某一常数），则它工作x秒，运算次数y 为y＝ax（a为常数）．2．正比例函数的图象及其性质正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条过（0，0），（1，k）两点的一条直 线，有时简称直线y＝kx．常数k决定直线y＝kx的具体位置． 当k＞0时，直线y＝kx经过一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大 y也增大．如图11-2-1所示．当k＜0时，直线y＝kx经过二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大 y反而减小．如图11-2-1所示．在画正比例函数的图象时，由于两点确定一条直线，因此只需取两点即可．这两点一般情况下是取（0，0）点和（1，k）点，有时k为分

4、数或小数时也可以取32x一些特殊点，如直线y＝，则可取点（0，0），（2，3）；直线y＝－0.3x，则 可取点（0，0），（10，－3）或（0，0），（－10，3）等等． 3．一次函数（1inearfunction）一般地，形如y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b ＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．在使用 一次函数的概念时应注意以下几点：（1）y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）是一次函数的一般形式，以后在解题 中可直接使用．如y－3为x－2的一次函数，可以设为：y－2＝k（x－2）＋b （k≠0）在这里注意分清函数中的自变量

5、与函数关系．（2）在一次函数y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数）中，自变量的取值范围是 全体实数，函数y的取值范围也是全体实数，但在具体的应用题中应考虑问题中的实际情况．（3）正比例函数y＝kx（k≠0）是一次函数y＝kx＋b（k≠0）的特殊情况，因此，正比例函数是特殊的一次函数．但一次函数只有在b＝0时，才是正比例函数．（4）一次函数的实际应用例子较多，如：某汽车油箱中有油30升，在行驶过程中，每100千米耗油6升，那么该车行驶x千米时，油箱中剩油量y（升）x与x之间的关系式为y＝30－100×6，即y＝－0.06x＋30（0≤x≤5）．再如：某同学新买了一部手机，加入了中国移动网，

6、其中移动网中一项收费标准为月租费18元，拨打电话1分钟按0.4元计费，假设这位同学入的是这种 网，那么他每月拨打x分钟，应缴电话费y元，y与x之间关系式可记为y＝0.4x ＋18（x＞0）．4．一次函数的图象及其性质（1）一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b．它 可以看作由直线y＝kx平移

7、b

8、个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）．b为直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标．如直线y＝2x＋3可由直线y＝2x向上平移3个单位长度而得到；直线y＝3－2－x－7可由直线y＝32x向下平移7个单位长度而得到．（2）一次函数的图象的性质与正比例

9、函数图象的性质相同．当k＞0时，直线y＝kx＋b由左至右上升，y随x的增大而增大． 当k＜0时，直线y＝kx＋b由左至右下降，y随x的增大而减小．（3）常数是k、b对一次函数y＝kx＋b图象的影响情况，如下表所示：反过来．如果已知一次函数的图象为表中的哪一个，那么也可确定出k、b 的符号．如：直线y＝kx＋b过一、二、四象限，则k＜0，b＞0．思考：若已知直线y＝kx＋b经过平面直角坐标系中的两个象限，能否确定k、b的符号，为什么？直线y＝kx