2012年高考真题汇编——理科数学：10：圆锥曲线2

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1、2012高考真题分类汇编：圆锥曲线三、解答题部分19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值．【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得，∴。由点在椭圆上，得-23-∴椭圆的方程为。（2）由（1）得，，又∵∥，∴设、的方程分别为，。∴。∴。①同理，。②（i）由①②得，。解得=2。∵注意到，∴

2、。∴直线的斜率为。（ii）证明：∵∥，∴，即。∴。由点在椭圆上知，，∴。同理。。∴-23-由①②得，，，∴。∴是定值。20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。【答案】(Ⅰ)由题：；(

3、1)左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：．(2)由(1)(2)可解得：．∴所求椭圆C的方程为：．(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在椭圆上，-23-∴．设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，代入椭圆：．显然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴

4、AB

5、＝

6、

7、＝＝．∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：．∴SABP＝d

8、AB

9、＝

10、m＋2

11、，当

12、m＋2

13、＝，即m＝﹣3或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．此时直

14、线l的方程y＝﹣．21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。【答案】-23-【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属

15、于中档题，难度适中。22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）-23-设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）如图1，设，，则由，可得，，所以，.①因为点在单位圆上运动，所以.②

16、将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，.（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.图2图3图1ODxyAM第21题解答图-23-解法2：如图2、3，，设，，则，，因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得.③依题

17、意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.④又，，三点共线，所以，即.于是由④式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.23.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）【答案】解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：-23-由韦达定理得：①，，②设，，方程为：，则，，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。24.【2012高考真题广东理2

18、0】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性