热力学与统计物理第七章试题

《热力学与统计物理第七章试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、22ph2227.1对于非相对论粒子，ε==()n+n+n，nn,,n=±0,1,±2,…．2xyzxyz22mmL∂ε2Ul试根据公式p=−∑al证明p=．l∂V3V解：213∂ε22⎡⎤h222ε由LV=可得=−⎢()nnn++=−53xyz⎥．将以上关系代入压∂Vm32⎣⎦V3V∂ε22Ul强公式，则有pa=−∑ll=∑aεl=．ll∂VV33V7.6晶体含有N个原子．原子在晶体中的位置如○○○○○×××××图中○所示．当原子离开正常位置而占据图○○○○○中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子．×××××晶体的这种缺陷称为弗伦

2、克尔缺陷．○○○○○×××××(1)假设正常位置和填隙位置数都是N，试○○○○○证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙×××××N!○○○○○原子而具有的熵为Sk=2ln．nN!!()−n×××××(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u．试由自由能Fn=−uTS为u−极小证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为nN≈e2kT（设nN）．解：(1)n个原子占据填隙位置而其余占据正常位置这一分布对应的微观状态数即从N个填隙位置中选取n个容纳填隙原子，且从N个正常位置中2nN−n⎡⎤N!选取N−n个容纳其余原子的方式数，故Ω==CC⎢⎥，

3、NN⎣⎦nN!!()−nN!Sk==lnΩ2kln．nN!!()−nN!(2)F=−nu2kTln≈+nu2kT⎡⎣nlnn+()N−nln()N−n−NlnN⎤⎦．nN!!()−nuudFn−−由=+uk2lTn=0得nN=−()nee22kT≈NkT（nN）．dnN−n7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体．试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率v、最概然速率v和方均根速率v．ms1解：由麦克斯韦分布对分子坐标积分后，得到动量在p附近dp范围内的分子数22ppxy+−222

4、mkTppxy+edppxyd⎛⎞1−NN=⎜⎟ed2mkTpdp．因此，速度在v附近dv范围pp22+xy−xy⎝⎠2πmkT⌠⌠⎮⎮ed2mkTppdxy⌡⌡22mv(xy+v)⎛⎞m−内的分子数为Nve2kTddv．⎜⎟xy⎝⎠2πkT2mv⎛⎞m−利用速度空间的极坐标，以上速度分布可表示为Nve2kTdvdθ．对⎜⎟⎝⎠2πkT2mv⎛⎞m−速度方向θ积分，得到速率分布2πNve2kTdv．⎜⎟⎝⎠2πkT+∞2⌠⎡⎤⎛⎞mk−mvπT平均速率为vv=⎢2π⎜⎟ed2kTv⎥v=（计算过程参见教材附录⎮⎮⌡⎢⎥⎣⎦⎝⎠2πk

5、T2m−∞2mvd⎡⎤⎛⎞m−kTC）．最概然速率满足条件⎢⎥2π⎜⎟e02kTv=，所以v=．由于md2vk⎢⎥⎣⎦⎝⎠πTm+∞2⌠⎡⎤⎛⎞mk−mv2T2kTvv22==⎢⎥2π⎜⎟ed2kTvv，⎮vs=．⎮⌡⎢⎥⎣⎦⎝⎠2πkTmm−∞7.17气柱高度为H，截面为S，处在重力场中．试证明此气柱的内能和热容量mgH2Nm()gHekTNmgH为UU=+NkT−和CC=+Nk−，其中U和C0mgHVV020V0mgHkT2⎛⎞e1−kT⎜⎟e1kT−⎝⎠分别为无外场情形的内能和热容量．解：222β(ppxy++pz)−βmgH

6、11⌠⌠⌠−mH−βmgz−e配分函数Z==ed2ppddpdxdyedzZ，这hm3⎮⎮⎮xyz∫∫∫0βgH00⌡⌡⌡3SH⎛⎞2πm2里Z=⎜03⎟为无外场时的配分函数．h0⎝⎠β∂lnZ⎛⎞1mgHNmgH内能U=−N=UN+⎜⎟−=UN+kT−．00βmgHmgH∂−ββ⎝⎠e1e1kT−2mgH2UNm()gHekT∂热容量CC==+Nk−．VV02∂T⎛⎞mgHkT2⎜⎟e1kT−⎝⎠7.18试求双原子分子理想气体的振动熵．解：∞−+⎛⎞n1βω=−βω=2⎜⎟e⎝⎠2振动配分函数为Zv=∑e=−β=ω．全同粒子不可分

7、辨性只影响n=01e−⎛⎞∂lnZv⎡=ωkT−=ωkT⎤平动熵，所以SN=−k⎜⎟lnZβ=Nk−ln()1−e．引vv⎝⎠∂−β⎢⎣e1=ωkT⎥⎦=ω⎡θvT−θvT⎤入振动特征温度θ=，振动熵可表为SN=−kln()1−e，vkv⎢⎣e1θvT−⎥⎦且满足广延量要求．7.19对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距．试求双原子分子理想气体的转动熵．解：由题设，常温下转动能级准连续，所以对能级的求和可以用积分代替．转22∞ll()++11ββ==∞ll()−−⌠2I动配分函数为Zl=+()21e2I≈2l+1e2Idl=

8、．转动熵r∑⎮()2l=0⌡0β=2⎛⎞∂lnZ⎡⎛⎞2IkT⎤=rSN=−k⎜⎟lnZβ=Nk1+ln⎜⎟．引入转动特征温度θ=，rr⎢2⎥r⎝⎠∂β⎣⎝⎠=⎦2Ik⎡T⎤则有SN=+k⎢1ln⎥，且为广延量．rθ⎣r⎦7.22以n