10.1分类计数原理与分步计数原理（二）

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1、10.1分类计数原理与分步计数原理（二）yyyy年M月d日星期2007年5月黄冈中学网校达州分校教学目标：1．巩固分类计数原理和分步计数原理．2．会用分类计数原理和分步计数原理解决一些较复杂的应用题．3．进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，加强分类与分步思想的训练．教学重点：分类计数原理与分步计数原理的综合运用．教学难点：对完成一件事情如何分类与分类的分析判断．2007年5月黄冈中学网校达州分校分类计数原理加法原理做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法

2、。那么完成这件事共有:N=m1+m2+…+mn种不同的方法。复习2007年5月黄冈中学网校达州分校分步计数原理乘法原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有:N=m1×m2×…×mn种不同的方法。2007年5月黄冈中学网校达州分校相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．分类计数原理与分步计数原理的异同:区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中

3、的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．2007年5月黄冈中学网校达州分校加法原理乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：2007年5月黄冈中学网校达州

4、分校例题解析例1要从甲，已，丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少不同的选法？解：要排好一个日班和晚班须分两个步骤来完成，第一步是从甲、乙、丙3人中选1人上日班，有3种选法；第2步是选1人上晚班，但这时只能从剩下的2人中选1人，有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同选法数是3×2=66种选法可以表示为：2007年5月黄冈中学网校达州分校例2某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，艺术组9人中，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，既会钢琴又会小号

5、的有1人(可把该人称为多面手)．因此，选出会钢琴与会小号各l人可分两类：第一类：不选多面手，分2步：第一步从只会钢琴的6人中选1人，有6种选法；第2步从只会小号的2人中选1人，有2种选法，因此，共有6×2=12(种)第二类：选多面手，分2步：第一步从多面手中选，有1种选法；第二步从非多面手中选，有8种选法，因此，共有1×8=8(种)故共有12+8=20(种)评注：此题不是简单的分类或分步就可完成，既要分类又要分步，一般是先分类，然后再在每一类中分步，综合应用分类计数原理与分步计数原理．注意“特殊元素优先考虑”法．2007年5月黄冈中学网校达州分校例3用红，

6、黄，蓝不同颜色的旗各3面，每次升1面，2面，3面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？解：不同的信号可分为三类：第一类：升一面旗，又可分三类，有1+1+1=3种第二类：升两面旗，可分两步，有3×3=9种第三类：升三面旗，可分三步，有3×3×3=27种故共有3+9+27=39（种）评注：先分类，再在每一类中分类或分步．2007年5月黄冈中学网校达州分校例4.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的

7、取法？（3）从书架上任取2种不同类型的书各1本，有多少种不同的取法？解:(1)4+3+2=9(2)4×3×2＝24(3)4×3＋4×2＋3×2＝26注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．2007年5月黄冈中学网校达州分校例5.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？分析与解：分析个位数字，可分以下几类．个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的

8、一个，故有7个；与上同样：个位是7的有6个；……个位是2的只有1个