共分散行列を用いた主成分分析相関行列を

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1、主成分分析の適用例1例１．テスト成績の解析共分散行列を用いた主成分分析相関行列を用いた主成分分析例２．ＲＧＢ信号の主成分分析例３．分光反射率の解析例４．画像圧縮例５．パターン認識例１－テストの成績の分析－2ある中学生の集合のテストの成績を主成分分析する共分散行列：x1（国語x2（社会x3（数学x4（理科x5（音楽x6（美術x7（体育x8（技家x9（英語x1（国語）470x2（社会）363459x3（数学）384407583x4（理科）333383426462x5（音楽）356369421391531x6（美術）2592292452

2、24263300x7（体育）24811310666186201708x8（技家）32132632034430120995500x9（英語）493501576485479304232404874平均分散x1（国語）52470x2（社会）39459各教科の平均とx3（数学）45583分散x4（理科）50462x5（音楽）42531x6（美術）62300x7（体育）57708x8（技家）47500x9（英語）39874得られた主成分を解釈する3第１主成分第２主成分第３主成分x1（国語）0.338-0.1210.095固有値x2（社会）0

3、3390.33901210.12100340.034λ１3232x3（数学）0.3770.174-0.307λ2700x4（理科）0.3370.2070.099λ3260x5（音楽）0.3490.004-0.003λ4208x6（美術）0.227-0.1530.173λ5124x7（体育）0.172-0.9260.012x8（技家）0.2980.1260.781x9（英語）0.4720.041-0.496だいたい第１主成分について：体育の方向どの科目の係数も正で体育，英語を除いて同程度の値を取っている．u2だいたい→総合点の意味合

4、いをもつと解釈できる．総合点のu1方向第２主成分について：体育は，主成分の係数の絶対値が特に大きい．→体育の成績がばらつきを支配する．９次元空間第３主成分について：u3技術家庭の係数が大きいが英語，数学なども比較的大きく，有意な解釈は与えられない．データの標準化の必要性について4仮に，「美術」が１０点満点，他は１００点満点でで出されていたとする．そのまま，単純に共分散行列を求めてしまうと，美術に関連した要素が著しく小さくなる．この結果，主成分は以下のようになる．第１主成分第２主成分第3主成分x1（国語）0.345-0.135-0.

5、112x2（社会）03490.34901080.108-004320.0432x3（数学）0.3890.1570.3113x4（理科）0.3470.196-0.0948x5（音楽）0.357-0.0060.0444x6（美術）0.022-0.013-0.0092x7（体育）0.168-0.945-0.0551x8（技家）0.3060.118-0.8271x9（英語）0.4870.0110.4365どの主成分でも，美術への荷重は小さく，美術がばらつきに寄与していない．どの科目もデータのばらつきに等しく寄与させるためには，各科目の成績

6、を（平均０分散１に）標準化してから，主成分分析を始めなければならない．相関行列に対する主成分分析5変数を標準化して相関行列を作り，これに対して主成分分析を行う．相関行列：rr各要素は標準化した変数間の共分散111mR1nxmxjkmjrikiijrm1rmmnk1ijテスト成績の相関行列：x1（国語x2（社会x3（数学x4（理科x5（音楽x6（美術x7（体育x8（技家x9（英語x1（国語）10001.000x2（社会）0.7821.000x3（数学）0.7340.7871.000x4（理

7、科）0.7150.8320.8211.000x5（音楽）0.7130.7470.7570.7891.000x6（美術）0.6900.6170.5860.6020.6591.000x7（体育）0.4300.1980.1650.1150.3030.4361.000x8（技家）0.6620.6810.5930.7160.5840.5400.1601.000x9（英語）0.7690.7910.8070.7630.7030.5940.2950.6111.000相関行列に対する主成分分析6第１主成分第２主成分第３主成分x1（国語）0.362-

8、0.155-0.057x2（社会）0.3680.1500.047x3（数学）0.3580.1840.372x4（理科）0.3660.2550.014x5（音楽）0.353-0.0030.236x6（美術）0.314-0.299-0.193x7（体育