高等数学下册第10章

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1、院系班级姓名作业编号第十章微分方程作业20微分方程基本概念1．写出下列条件所确定的微分方程：（1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分；解：法线方程为，法线与轴的交点由已知（2）曲线上任意点处的切线与线段垂直；解：切线的斜率为，线段的斜率为由已知（3）曲线上任意点处的切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的三角形的面积为常数．解：切线方程为，点与原点的连线为切线与轴即直线的交点，由已知2.．求曲线簇所满足的微分方程．解：由已知，两边对自变量求导两边再对自变量求导3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如

2、果潜水艇的质量为，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件．解：由已知，23院系班级姓名作业编号作业21可分离变量的微分方程1．解微分方程．解：微分方程即分离变量两边积分从而2.求解初值问题：．解：微分方程即分离变量两边积分从而由，3．当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量+，且，求．解：由已知，从而分离变量两边积分由，23院系班级姓名作业编号4．解微分方程．解：微分方程即分离变量两边积分5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程．解：由已知当分离

3、变量两边积分由，6．设有连接的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程．解：设曲线为由已知微分方程即从而由，，23院系班级姓名作业编号作业22齐次方程1．解微分方程．解：令则微分方程，即，分离变量两边积分2．求解初值问题．解：令则微分方程，即，分离变量，两边积分由，3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：（1）；解：令（2）；解：令，则再令，23院系班级姓名作业编号再令从而（3）．解：令，则，分离变量，两边积分4．求曲线，使它正交于圆心在轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指在交点

4、处两曲线的切线互相垂直）．解：可设在轴上且过原点的任何圆为，则由已知曲线应满足令则，23院系班级姓名作业编号作业23一阶线性微分方程1．解微分方程．解：对照标准的一阶线性微分方程2．解微分方程．解：微分方程即3．解微分方程．解：观察发现，微分方程等价为4．求解初值问题，．解：对照标准的一阶线性微分方程，由，23院系班级姓名作业编号5．设曲线积分在右半平面（内与路径无关，其中可导，且，求．解：由曲线积分在右半平面（内与路径无关可知，由，6．解微分方程．解：微分方程化为令为一阶线性微分方程23院系班级姓名作业编号作业24全微

5、分方程1．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（1）；解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而（2）；解：方程即因为且连续，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个函数的全微分，即从而微分方程的通解为（3）．解：因为且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个势函数的全微分，可用曲线积分法求一个来。从而微分方程的通解为23院系班级姓名作业编号作业25可降阶的高阶微分方程1．求下列微分方程的通解（1）；解：（2）；解：令分离变量，两边积分，分离变量，两边积分（3）；解：令分离变

6、量，两边积分，分离变量，两边积分23院系班级姓名作业编号(4).解：令分离变量，两边积分，分离变量，两边积分，2．求解初值问题．解：令分离变量，两边积分，由，分离变量，两边积分，，由，从而3．设第一象限内的曲线对应于一段的长在数值上等于曲边梯形：，的面积，其中是任意给定的，，求．解：由已知23院系班级姓名作业编号由，23院系班级姓名作业编号作业26线性微分方程解的结构1．已知是齐次线性方程的一个解，求此方程的通解．解：方程即由刘维尔公式由解的结构定理可知，方程的通解2．若,，是二阶非齐次线性微分方程（1）的线性无关的解，

7、试用，表达方程（1）的通解．解：由解的结构定理可知，均为对应的二阶齐次线性微分方程的解，而且现行无关。从而：由解的结构定理方程（1）的通解为3．已知都是二阶线性非齐次方程的解，求此方程的通解．解：易知线性无关，从而为二阶线性齐次方程的线性无关的特解，由解的结构定理，二阶线性非齐次方程的通解为23院系班级姓名作业编号作业27二阶常系数齐次线性微分方程1．求下列微分方程的通解（1）；解：特征方程为从而通解为（2）；解：特征方程为从而通解为（3）；解：特征方程为从而通解为（4）．解：特征方程为从而通解为2．求方程满足所给初始条

8、件，的特解．解：特征方程为从而通解为，由得由，得23院系班级姓名作业编号因此1．设可微函数满足方程，求．解：由已知，，特征方程为从而通解为，由得由，得因此23院系班级姓名作业编号作业28二阶线性非齐次微分方程1．求下列各方程的通解（1）；解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得对比特征根，推得，从而代入方程