n阶行列式的定义全

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1、第一章行列式§1n阶行列式的定义§2行列式的性质§3行列式按行(列)展开§4克拉默法则§1n阶行列式的定义●二阶与三阶行列式●排列与逆序●n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解1.二阶行列式求解公式为二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第

2、j列.二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为2.三阶行列式定义对于有9个元素排成3行3列的式子记称为三阶行列式.主对角线副对角线三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.例1计算行列式解按对角线法则，有方程左端解由得例2求解方程二、排列与逆序定义由正整数组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为。例如42316534121523是一个4级排列是一个6级排列不是一个排列n个不同的自然数，规定从小到大为标准

3、次序.定义在一个n级排列中，如果数，则称数与构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;例1：求排列32514的逆序数.解：练习：求排列453162的逆序数.解：因为3排在首位，故其逆序的个数为0；在2的前面比

4、2大的数有1个，故其逆序的个数为1；在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0；在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。易见所求排列的逆序数为定义逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。定义把一个排列中某两个数，的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列，这样的变换称为一个对换，记为。将两个相邻元素对换，称为相邻对换定理1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。证明：第一种情形。先看相邻对换的情况设排列为，对换与，变为显然，

5、，这些元素的逆序数经过对换并不改变，与两元素的逆序数改变为：当时，经对换后的逆序数增加1而的逆序数不变；当时，经对换后的逆序数不变而的逆序数减少1；所以，排列与排列的奇偶性改变。第二种情形。再看一般情况。设排列为，对它做次相邻对换，变成再做次相邻对换，变成总之，经次相邻对换，排列变成所以这两个排列的奇偶性改变。定理2个自然数共有个级排列，其中奇偶排列各占一半。证明级排列的总数为个。设其中奇排列为个，偶排列为个。若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1，个奇排列均变成偶排列，故；同理，对每个偶排列做同一变换，则个偶排列均变成奇排列，故。从而，三、n阶行列式

6、的定义规律：三阶行列式共有3!项。每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号。所以，三阶行列式可以写成其中表示对所有3级排列求和。二阶行列式有类似规律。下面将行列式推广到一般的情形定义由个元素排成n行、n列构成的记号：简记作，其中为行列式D的(i,j)元称为n阶行列式，其中表示对所有n阶排列求和。规律n阶行列式共有n!项．每项都是取自不同行不同列的n个元素的乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：3.若行列式每项的行标都

7、按自然数的顺序排列，其中是指项的符号，且列序构成n级排列，若此排列为奇排列则此项取负号，若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负。思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式

8、a

9、=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.例如所表示的代数和中有4！=24项。行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为1234，元素取自不同列，且逆序数,即元素乘积前面应冠以正号，所以为D的一项。行标排列为1234，元素取自不同行；列标排列为4312，元素取自不同列

10、，且逆序数,即排列4312为奇排列，所以元素乘积前面应冠以负号，所以为D的一项。有两个元素取自