复合函数极限的存在性

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1、万方数据第2l卷莎6固南都学坛(自然科学版)V01．21No．6201年11月AcademicForumofNanDu(Natura。lSci。encesEdition)斌了．2苘1———————————————————————————————————————————————’———_——————一一一一_一_一复合函数极限的存在性郭明普(河南工业职业技术学院成教院，河南南阳473009)摘要：讨论了如果两个函数Y=f(u)与“=妒(z)的极限都存在，不妨设lim9(z)=uo，limf(u)=A，则复合函数

2、‘420“—+。0九妒(z)]在xo点是否存在极限?如果复合函数fEP(x)]的极限存在，那么是否还等于A?通过论证得到，并不能由lim妒。。50(z)，1imf(“)的存在性推出limfE妒(x)]的存在性。“一+u0。一x0关键词：复合函数；极限；复合函数的存在性中图分类号：O211．4文献标识码：A文章编号：1002—6320(2001)06—0091—02我们知道，如果函数Y=f(“)的定义域包含函数u=妒(戈)的值域，则在函数u=驴(髫)的定义域D上就确定了一个函数Y=f[9(髫)]，这个函数称为Y

3、=f(H)与u=9(髫)的复合函数。本文讨论的问题是，如果两个函数Y=f(“)与“=P(并)都存在极限，不妨设limP(省)=“o，limf(M)=A，则复合函数f[p(舅)]在zo点是否存在极限?如果复合函数f[P(菇)]的极限存在，那么是否还等于A?为此，我们举出下面的反例说明，即使两个函数极限都存在，而复合函数的极限也可能不存在，即使存在也不一定等于外层函数的极限A。例，设加)=口：嚣’“=Px)=xsini1有lim9(算)=limxsin三=0，limf(“)=0。#—-0*—-0咒u—·0由复合函

4、数定义，显然有．⋯卜n÷，当菇≠击九P(戈)]：{菇?座：±l，±2，⋯l1，当戈=亡如果取Xk=丙1，YI=去，有limf[9(菇I)]=1．卜lim。f[9(Y^)]=0。Z船r+i根据Heine定理，复合函数f[9(戈)]在戈=0不存在极限，因此不能在戈=0收敛于0。例2设，cu，={：：：三：u=9c茹，=。菇∈R。有limbo(z)=0，lil矿(u)=2。由复合函数的定义，显然有f[9(算)]=0，菇∈R。显然，limf[够(髫)]=0≠2。上面两个例题说明，并不能由limP(菇)，limf(u)

5、的存在性推出limf[9(菇)]的存在性。于是就产生一个十分重要的问题，就是在什么条件下，两个函数的极限存在，则复合函数的极限存在且等于外层函数的极限呢?假定所讨论的两个函数Y=，(Ⅱ)和Ⅱ=9(舅)是满足两个函数复合成一个函数的条件的前提下才讨论它们的复合而成的函数极限存在性，否则就失去了讨论的意义。定理1设lim妒(算)=uo，limf(u)=A，且“≠“o，则limf[9(算)]=A。收藕日期：2001—04一18作者筒介：郭明普(1962一)，男，河南省镇平县人，讲师，从事高等数学教学研究。万方数据。

6、92’南都学坛2001年第6期证明因，lim。．f(u)=A，由极限定义知，任给e>0，存在7>0，当00，存在艿>0，当0

7、一∞z一#0”证明因limf(u)=A，由极限的定义，任给e>0，存在M>0，当I“I>M时，有If(u)一AI0，存在8>0，当0M或I“I>M，从而有If[妒(菇)]一Al<￡故limf[9(戈)]=A。t—’x0说明1。如果把茗一名。换成茹一茗o+0或名一茹。一0时，定理仍然成立。2．如果把it-一∞换成“一±∞时，定理仍然成立。定理3设lim妒(戈)=￡‘o，limf(H)=A，则limf[9(咒

8、)]=A。一。“一～r’∞证明因limf(Ⅱ)=A，由极限定义知，任给￡>0，存在7>0，当00，存在M>0，当l菇I>M，有0